Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20000 / 9760
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
W 70.136719°		 ← 132.96 m → N 77.427823°
W 70.131225°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 77.426628°
W 70.136719°		 ← 132.98 m →
17 680 m²		 N 77.426628°
W 70.131225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305183410644531 y=0.148933410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305183410644531 × 216)
    floor (0.305183410644531 × 65536)
    floor (20000.5)     		tx = 20000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148933410644531 × 216)
    floor (0.148933410644531 × 65536)
    floor (9760.5)     		ty = 9760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20000 / 9760 ti = "16/20000/9760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20000/9760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20000 ÷ 216
    20000 ÷ 65536     		x = 0.30517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9760 ÷ 216
    9760 ÷ 65536     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22411667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22411667} λ = -1.22411667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22411667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20000 KachelY 9760 -1.22411667 1.35137045 -70.136719 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 20001 KachelY 9760 -1.22402079 1.35137045 -70.131225 77.427823
    Unten links KachelX 20000 KachelY + 1 9761 -1.22411667 1.35134958 -70.136719 77.426628
    Unten rechts KachelX + 1 20001 KachelY + 1 9761 -1.22402079 1.35134958 -70.131225 77.426628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35134958) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35134958) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22411667--1.22402079) × cos(1.35137045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 132.963615139153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22411667--1.22402079) × cos(1.35134958) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217689671317864 × 6371000     		du = 132.976057905144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35134958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.217689671317864)×R²
    abs(-1.22402079--1.22411667)×2.03695438222296e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.03695438222296e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.03695438222296e-05×40589641000000     		ar = 17680.0377910357m²