Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2000 / 1967
↖ ↑ ↗
← N 79.500656°
W136.054688°		 ← 445.22 m → N 79.500656°
W136.032715°		 →
↑
445.27 m
↓
↑
445.27 m
↓
N 79.496652°
W136.054688°		 ← 445.39 m →
198 282 m²		 N 79.496652°
W136.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122100830078125 y=0.120086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122100830078125 × 214)
    floor (0.122100830078125 × 16384)
    floor (2000.5)     		tx = 2000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120086669921875 × 214)
    floor (0.120086669921875 × 16384)
    floor (1967.5)     		ty = 1967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2000 / 1967 ti = "14/2000/1967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2000/1967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2000 ÷ 214
    2000 ÷ 16384     		x = 0.1220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1967 ÷ 214
    1967 ÷ 16384     		y = 0.12005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37460226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12005615234375 × 2 - 1) × π
    0.7598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3872576010788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37460226} λ = -2.37460226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3872576010788))-π/2
    2×atan(10.8836057903766)-π/2
    2×1.47917227046052-π/2
    2.95834454092105-1.57079632675     		φ = 1.38754821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37460226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38754821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.500656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2000 KachelY 1967 -2.37460226 1.38754821 -136.054688 79.500656
    Oben rechts KachelX + 1 2001 KachelY 1967 -2.37421876 1.38754821 -136.032715 79.500656
    Unten links KachelX 2000 KachelY + 1 1968 -2.37460226 1.38747832 -136.054688 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 2001 KachelY + 1 1968 -2.37421876 1.38747832 -136.032715 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38754821-1.38747832) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dl = 445.269190000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38754821-1.38747832) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dr = 445.269190000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37460226--2.37421876) × cos(1.38754821) × R
    0.00038349999999987 × 0.1822242626251 × 6371000     		do = 445.22462305011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37460226--2.37421876) × cos(1.38747832) × R
    0.00038349999999987 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 445.392523649125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38754821)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1822242626251-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.37421876--2.37460226)×6.87193862734525e-05×R²
    0.00038349999999987×6.87193862734525e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.87193862734525e-05×40589641000000     		ar = 198282.187836555m²