Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19999 / 9759
↖ ↑ ↗
← N 77.429019°
W 70.142212°		 ← 132.94 m → N 77.429019°
W 70.136719°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 77.427823°
W 70.142212°		 ← 132.95 m →
17 677 m²		 N 77.427823°
W 70.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305168151855469 y=0.148918151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305168151855469 × 216)
    floor (0.305168151855469 × 65536)
    floor (19999.5)     		tx = 19999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148918151855469 × 216)
    floor (0.148918151855469 × 65536)
    floor (9759.5)     		ty = 9759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19999 / 9759 ti = "16/19999/9759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19999/9759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19999 ÷ 216
    19999 ÷ 65536     		x = 0.305160522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9759 ÷ 216
    9759 ÷ 65536     		y = 0.148910522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305160522460938 × 2 - 1) × π
    -0.389678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22421254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148910522460938 × 2 - 1) × π
    0.702178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20596024671574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22421254} λ = -1.22421254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20596024671574))-π/2
    2×atan(9.07896543019469)-π/2
    2×1.46109382389599-π/2
    2.92218764779198-1.57079632675     		φ = 1.35139132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22421254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35139132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.429019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19999 KachelY 9759 -1.22421254 1.35139132 -70.142212 77.429019
    Oben rechts KachelX + 1 20000 KachelY 9759 -1.22411667 1.35139132 -70.136719 77.429019
    Unten links KachelX 19999 KachelY + 1 9760 -1.22421254 1.35137045 -70.142212 77.427823
    Unten rechts KachelX + 1 20000 KachelY + 1 9760 -1.22411667 1.35137045 -70.136719 77.427823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35139132-1.35137045) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dl = 132.9627700011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35139132-1.35137045) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dr = 132.9627700011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22421254--1.22411667) × cos(1.35139132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217648932135412 × 6371000     		do = 132.937305901867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22421254--1.22411667) × cos(1.35137045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217669301774042 × 6371000     		du = 132.949747428021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35139132)-sin(1.35137045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217648932135412-0.217669301774042)×R²
    abs(-1.22411667--1.22421254)×2.0369638629808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0369638629808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0369638629808e-05×40589641000000     		ar = 17676.5395594655m²