Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19997 / 20974
↖ ↑ ↗
← S 44.949249°
E 39.693603°		 ← 864.59 m → S 44.949249°
E 39.704590°		 →
↑
864.48 m
↓
↑
864.48 m
↓
S 44.957024°
E 39.693603°		 ← 864.48 m →
747 375 m²		 S 44.957024°
E 39.704590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610275268554688 y=0.640090942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610275268554688 × 215)
    floor (0.610275268554688 × 32768)
    floor (19997.5)     		tx = 19997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640090942382812 × 215)
    floor (0.640090942382812 × 32768)
    floor (20974.5)     		ty = 20974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19997 / 20974 ti = "15/19997/20974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19997/20974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19997 ÷ 215
    19997 ÷ 32768     		x = 0.610260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20974 ÷ 215
    20974 ÷ 32768     		y = 0.64007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610260009765625 × 2 - 1) × π
    0.22052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69278407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69278407} λ = 0.69278407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880121477024231))-π/2
    2×atan(0.414732528148051)-π/2
    2×0.393141965405341-π/2
    0.786283930810683-1.57079632675     		φ = -0.78451240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69278407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.693603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78451240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.949249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19997 KachelY 20974 0.69278407 -0.78451240 39.693603 -44.949249
    Oben rechts KachelX + 1 19998 KachelY 20974 0.69297582 -0.78451240 39.704590 -44.949249
    Unten links KachelX 19997 KachelY + 1 20975 0.69278407 -0.78464809 39.693603 -44.957024
    Unten rechts KachelX + 1 19998 KachelY + 1 20975 0.69297582 -0.78464809 39.704590 -44.957024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78451240--0.78464809) × R
    0.000135690000000022 × 6371000     		dl = 864.480990000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78451240--0.78464809) × R
    0.000135690000000022 × 6371000     		dr = 864.480990000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69278407-0.69297582) × cos(-0.78451240) × R
    0.000191750000000046 × 0.707732833019741 × 6371000     		do = 864.594207330819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69278407-0.69297582) × cos(-0.78464809) × R
    0.000191750000000046 × 0.707636964209838 × 6371000     		du = 864.477090229791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78451240)-sin(-0.78464809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707732833019741-0.707636964209838)×R²
    abs(0.69297582-0.69278407)×9.5868809902977e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5868809902977e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5868809902977e-05×40589641000000     		ar = 747374.63469512m²