Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19996 / 20971
↖ ↑ ↗
← S 44.925918°
E 39.682617°		 ← 864.90 m → S 44.925918°
E 39.693603°		 →
↑
864.93 m
↓
↑
864.93 m
↓
S 44.933697°
E 39.682617°		 ← 864.78 m →
748 025 m²		 S 44.933697°
E 39.693603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610244750976562 y=0.639999389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610244750976562 × 215)
    floor (0.610244750976562 × 32768)
    floor (19996.5)     		tx = 19996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639999389648438 × 215)
    floor (0.639999389648438 × 32768)
    floor (20971.5)     		ty = 20971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19996 / 20971 ti = "15/19996/20971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19996/20971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19996 ÷ 215
    19996 ÷ 32768     		x = 0.6102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20971 ÷ 215
    20971 ÷ 32768     		y = 0.639984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6102294921875 × 2 - 1) × π
    0.220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69259233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.27996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87954623422879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69259233} λ = 0.69259233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87954623422879))-π/2
    2×atan(0.414971168678446)-π/2
    2×0.39334556587575-π/2
    0.7866911317515-1.57079632675     		φ = -0.78410519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69259233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.682617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78410519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.925918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19996 KachelY 20971 0.69259233 -0.78410519 39.682617 -44.925918
    Oben rechts KachelX + 1 19997 KachelY 20971 0.69278407 -0.78410519 39.693603 -44.925918
    Unten links KachelX 19996 KachelY + 1 20972 0.69259233 -0.78424095 39.682617 -44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 19997 KachelY + 1 20972 0.69278407 -0.78424095 39.693603 -44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78410519--0.78424095) × R
    0.00013576000000004 × 6371000     		dl = 864.926960000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78410519--0.78424095) × R
    0.00013576000000004 × 6371000     		dr = 864.926960000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69259233-0.69278407) × cos(-0.78410519) × R
    0.000191739999999996 × 0.708020460125556 × 6371000     		do = 864.900475908905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69259233-0.69278407) × cos(-0.78424095) × R
    0.000191739999999996 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 864.783352297339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78410519)-sin(-0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708020460125556-0.707924580986091)×R²
    abs(0.69278407-0.69259233)×9.58791394648495e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58791394648495e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58791394648495e-05×40589641000000     		ar = 748025.088794586m²