Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19995 / 20972
↖ ↑ ↗
← S 44.933697°
E 39.671631°		 ← 864.83 m → S 44.933697°
E 39.682617°		 →
↑
864.74 m
↓
↑
864.74 m
↓
S 44.941473°
E 39.671631°		 ← 864.71 m →
747 798 m²		 S 44.941473°
E 39.682617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610214233398438 y=0.640029907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610214233398438 × 215)
    floor (0.610214233398438 × 32768)
    floor (19995.5)     		tx = 19995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640029907226562 × 215)
    floor (0.640029907226562 × 32768)
    floor (20972.5)     		ty = 20972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19995 / 20972 ti = "15/19995/20972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19995/20972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19995 ÷ 215
    19995 ÷ 32768     		x = 0.610198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20972 ÷ 215
    20972 ÷ 32768     		y = 0.6400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610198974609375 × 2 - 1) × π
    0.22039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69240058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87973798182727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69240058} λ = 0.69240058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87973798182727))-π/2
    2×atan(0.414891606581577)-π/2
    2×0.393277689860518-π/2
    0.786555379721036-1.57079632675     		φ = -0.78424095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69240058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.671631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78424095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.933697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19995 KachelY 20972 0.69240058 -0.78424095 39.671631 -44.933697
    Oben rechts KachelX + 1 19996 KachelY 20972 0.69259233 -0.78424095 39.682617 -44.933697
    Unten links KachelX 19995 KachelY + 1 20973 0.69240058 -0.78437668 39.671631 -44.941473
    Unten rechts KachelX + 1 19996 KachelY + 1 20973 0.69259233 -0.78437668 39.682617 -44.941473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78424095--0.78437668) × R
    0.000135730000000001 × 6371000     		dl = 864.735830000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78424095--0.78437668) × R
    0.000135730000000001 × 6371000     		dr = 864.735830000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69240058-0.69259233) × cos(-0.78424095) × R
    0.000191749999999935 × 0.707924580986091 × 6371000     		do = 864.828454172119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69240058-0.69259233) × cos(-0.78437668) × R
    0.000191749999999935 × 0.707828709990549 × 6371000     		du = 864.711334401029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78424095)-sin(-0.78437668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707924580986091-0.707828709990549)×R²
    abs(0.69259233-0.69240058)×9.5870995541647e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5870995541647e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5870995541647e-05×40589641000000     		ar = 747797.513442712m²