Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19990 / 20750
↖ ↑ ↗
← S 43.181147°
E 39.616699°		 ← 890.81 m → S 43.181147°
E 39.627686°		 →
↑
890.73 m
↓
↑
890.73 m
↓
S 43.189158°
E 39.616699°		 ← 890.69 m →
793 420 m²		 S 43.189158°
E 39.627686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610061645507812 y=0.633255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610061645507812 × 215)
    floor (0.610061645507812 × 32768)
    floor (19990.5)     		tx = 19990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633255004882812 × 215)
    floor (0.633255004882812 × 32768)
    floor (20750.5)     		ty = 20750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19990 / 20750 ti = "15/19990/20750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19990/20750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19990 ÷ 215
    19990 ÷ 32768     		x = 0.61004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20750 ÷ 215
    20750 ÷ 32768     		y = 0.63323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61004638671875 × 2 - 1) × π
    0.2200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69144184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63323974609375 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.837170014964661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69144184} λ = 0.69144184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837170014964661))-π/2
    2×atan(0.432933988126834)-π/2
    2×0.408571567918976-π/2
    0.817143135837953-1.57079632675     		φ = -0.75365319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69144184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.616699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75365319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.181147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19990 KachelY 20750 0.69144184 -0.75365319 39.616699 -43.181147
    Oben rechts KachelX + 1 19991 KachelY 20750 0.69163359 -0.75365319 39.627686 -43.181147
    Unten links KachelX 19990 KachelY + 1 20751 0.69144184 -0.75379300 39.616699 -43.189158
    Unten rechts KachelX + 1 19991 KachelY + 1 20751 0.69163359 -0.75379300 39.627686 -43.189158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75365319--0.75379300) × R
    0.000139810000000073 × 6371000     		dl = 890.729510000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75365319--0.75379300) × R
    0.000139810000000073 × 6371000     		dr = 890.729510000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69144184-0.69163359) × cos(-0.75365319) × R
    0.000191750000000046 × 0.72919383603075 × 6371000     		do = 890.811810953443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69144184-0.69163359) × cos(-0.75379300) × R
    0.000191750000000046 × 0.72909815591415 × 6371000     		du = 890.694924367559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75365319)-sin(-0.75379300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72919383603075-0.72909815591415)×R²
    abs(0.69163359-0.69144184)×9.56801166006604e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56801166006604e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56801166006604e-05×40589641000000     		ar = 793420.311999537m²