Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1999 / 1968
↖ ↑ ↗
← N 79.496652°
W136.076660°		 ← 445.38 m → N 79.496652°
W136.054688°		 →
↑
445.46 m
↓
↑
445.46 m
↓
N 79.492646°
W136.076660°		 ← 445.55 m →
198 437 m²		 N 79.492646°
W136.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122039794921875 y=0.120147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122039794921875 × 214)
    floor (0.122039794921875 × 16384)
    floor (1999.5)     		tx = 1999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120147705078125 × 214)
    floor (0.120147705078125 × 16384)
    floor (1968.5)     		ty = 1968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1999 / 1968 ti = "14/1999/1968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1999/1968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1999 ÷ 214
    1999 ÷ 16384     		x = 0.12200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1968 ÷ 214
    1968 ÷ 16384     		y = 0.1201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.7559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37498575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1201171875 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37498575} λ = -2.37498575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38687410588184))-π/2
    2×atan(10.8794327800462)-π/2
    2×1.47913732280807-π/2
    2.95827464561614-1.57079632675     		φ = 1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37498575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1999 KachelY 1968 -2.37498575 1.38747832 -136.076660 79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 2000 KachelY 1968 -2.37460226 1.38747832 -136.054688 79.496652
    Unten links KachelX 1999 KachelY + 1 1969 -2.37498575 1.38740840 -136.076660 79.492646
    Unten rechts KachelX + 1 2000 KachelY + 1 1969 -2.37460226 1.38740840 -136.054688 79.492646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38747832-1.38740840) × R
    6.99200000000566e-05 × 6371000     		dl = 445.460320000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38747832-1.38740840) × R
    6.99200000000566e-05 × 6371000     		dr = 445.460320000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37498575--2.37460226) × cos(1.38747832) × R
    0.000383489999999931 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 445.380909763312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37498575--2.37460226) × cos(1.38740840) × R
    0.000383489999999931 × 0.182361730004162 × 6371000     		du = 445.548875876075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38747832)-sin(1.38740840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.182361730004162)×R²
    abs(-2.37460226--2.37498575)×6.87479927883039e-05×R²
    0.000383489999999931×6.87479927883039e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.87479927883039e-05×40589641000000     		ar = 198436.933784357m²