Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19989 / 20789
↖ ↑ ↗
← S 43.492783°
E 39.605713°		 ← 886.25 m → S 43.492783°
E 39.616699°		 →
↑
886.21 m
↓
↑
886.21 m
↓
S 43.500753°
E 39.605713°		 ← 886.13 m →
785 350 m²		 S 43.500753°
E 39.616699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610031127929688 y=0.634445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610031127929688 × 215)
    floor (0.610031127929688 × 32768)
    floor (19989.5)     		tx = 19989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634445190429688 × 215)
    floor (0.634445190429688 × 32768)
    floor (20789.5)     		ty = 20789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19989 / 20789 ti = "15/19989/20789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19989/20789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19989 ÷ 215
    19989 ÷ 32768     		x = 0.610015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20789 ÷ 215
    20789 ÷ 32768     		y = 0.634429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610015869140625 × 2 - 1) × π
    0.22003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69125009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69125009} λ = 0.69125009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844648171305389))-π/2
    2×atan(0.429708515404499)-π/2
    2×0.405852032977049-π/2
    0.811704065954099-1.57079632675     		φ = -0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69125009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.605713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19989 KachelY 20789 0.69125009 -0.75909226 39.605713 -43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 19990 KachelY 20789 0.69144184 -0.75909226 39.616699 -43.492783
    Unten links KachelX 19989 KachelY + 1 20790 0.69125009 -0.75923136 39.605713 -43.500753
    Unten rechts KachelX + 1 19990 KachelY + 1 20790 0.69144184 -0.75923136 39.616699 -43.500753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75909226--0.75923136) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dl = 886.206100000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75909226--0.75923136) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dr = 886.206100000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69125009-0.69144184) × cos(-0.75909226) × R
    0.000191749999999935 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 886.251721829875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69125009-0.69144184) × cos(-0.75923136) × R
    0.000191749999999935 × 0.725365329149086 × 6371000     		du = 886.134756677392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75909226)-sin(-0.75923136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725365329149086)×R²
    abs(0.69144184-0.69125009)×9.57444290385912e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57444290385912e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57444290385912e-05×40589641000000     		ar = 785349.855671931m²