Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19988 / 20793
↖ ↑ ↗
← S 43.524655°
E 39.594726°		 ← 885.78 m → S 43.524655°
E 39.605713°		 →
↑
885.70 m
↓
↑
885.70 m
↓
S 43.532621°
E 39.594726°		 ← 885.67 m →
784 484 m²		 S 43.532621°
E 39.605713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610000610351562 y=0.634567260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610000610351562 × 215)
    floor (0.610000610351562 × 32768)
    floor (19988.5)     		tx = 19988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634567260742188 × 215)
    floor (0.634567260742188 × 32768)
    floor (20793.5)     		ty = 20793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19988 / 20793 ti = "15/19988/20793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19988/20793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19988 ÷ 215
    19988 ÷ 32768     		x = 0.6099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20793 ÷ 215
    20793 ÷ 32768     		y = 0.634552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6099853515625 × 2 - 1) × π
    0.219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69105834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.26910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.84541516169931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69105834} λ = 0.69105834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84541516169931))-π/2
    2×atan(0.42937905946192)-π/2
    2×0.405573895573934-π/2
    0.811147791147868-1.57079632675     		φ = -0.75964854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69105834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75964854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.524655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19988 KachelY 20793 0.69105834 -0.75964854 39.594726 -43.524655
    Oben rechts KachelX + 1 19989 KachelY 20793 0.69125009 -0.75964854 39.605713 -43.524655
    Unten links KachelX 19988 KachelY + 1 20794 0.69105834 -0.75978756 39.594726 -43.532621
    Unten rechts KachelX + 1 19989 KachelY + 1 20794 0.69125009 -0.75978756 39.605713 -43.532621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75964854--0.75978756) × R
    0.00013901999999999 × 6371000     		dl = 885.696419999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75964854--0.75978756) × R
    0.00013901999999999 × 6371000     		dr = 885.696419999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69105834-0.69125009) × cos(-0.75964854) × R
    0.000191750000000046 × 0.72507809429965 × 6371000     		do = 885.783859311866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69105834-0.69125009) × cos(-0.75978756) × R
    0.000191750000000046 × 0.724982348855406 × 6371000     		du = 885.666892919169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75964854)-sin(-0.75978756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72507809429965-0.724982348855406)×R²
    abs(0.69125009-0.69105834)×9.57454442440664e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57454442440664e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57454442440664e-05×40589641000000     		ar = 784483.795991917m²