Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19987 / 20791
↖ ↑ ↗
← S 43.508721°
E 39.583740°		 ← 885.97 m → S 43.508721°
E 39.594726°		 →
↑
885.95 m
↓
↑
885.95 m
↓
S 43.516688°
E 39.583740°		 ← 885.85 m →
784 876 m²		 S 43.516688°
E 39.594726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609970092773438 y=0.634506225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609970092773438 × 215)
    floor (0.609970092773438 × 32768)
    floor (19987.5)     		tx = 19987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634506225585938 × 215)
    floor (0.634506225585938 × 32768)
    floor (20791.5)     		ty = 20791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19987 / 20791 ti = "15/19987/20791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19987/20791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19987 ÷ 215
    19987 ÷ 32768     		x = 0.609954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20791 ÷ 215
    20791 ÷ 32768     		y = 0.634490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609954833984375 × 2 - 1) × π
    0.21990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69086660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.26898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84503166650235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69086660} λ = 0.69086660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84503166650235))-π/2
    2×atan(0.429543755847017)-π/2
    2×0.405712945916823-π/2
    0.811425891833647-1.57079632675     		φ = -0.75937043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69086660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.583740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75937043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.508721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19987 KachelY 20791 0.69086660 -0.75937043 39.583740 -43.508721
    Oben rechts KachelX + 1 19988 KachelY 20791 0.69105834 -0.75937043 39.594726 -43.508721
    Unten links KachelX 19987 KachelY + 1 20792 0.69086660 -0.75950949 39.583740 -43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 19988 KachelY + 1 20792 0.69105834 -0.75950949 39.594726 -43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75937043--0.75950949) × R
    0.000139059999999969 × 6371000     		dl = 885.9512599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75937043--0.75950949) × R
    0.000139059999999969 × 6371000     		dr = 885.9512599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69086660-0.69105834) × cos(-0.75937043) × R
    0.000191739999999996 × 0.725269591339041 × 6371000     		do = 885.971592685549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69086660-0.69105834) × cos(-0.75950949) × R
    0.000191739999999996 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 885.854632994794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75937043)-sin(-0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725269591339041-0.725173846387604)×R²
    abs(0.69105834-0.69086660)×9.57449514376041e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57449514376041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57449514376041e-05×40589641000000     		ar = 784875.839835937m²