Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19986 / 20786
↖ ↑ ↗
← S 43.468868°
E 39.572754°		 ← 886.60 m → S 43.468868°
E 39.583740°		 →
↑
886.52 m
↓
↑
886.52 m
↓
S 43.476840°
E 39.572754°		 ← 886.49 m →
785 943 m²		 S 43.476840°
E 39.583740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609939575195312 y=0.634353637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609939575195312 × 215)
    floor (0.609939575195312 × 32768)
    floor (19986.5)     		tx = 19986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634353637695312 × 215)
    floor (0.634353637695312 × 32768)
    floor (20786.5)     		ty = 20786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19986 / 20786 ti = "15/19986/20786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19986/20786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19986 ÷ 215
    19986 ÷ 32768     		x = 0.60992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20786 ÷ 215
    20786 ÷ 32768     		y = 0.63433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60992431640625 × 2 - 1) × π
    0.2198486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69067485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844072928509949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69067485} λ = 0.69067485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844072928509949))-π/2
    2×atan(0.429955773241951)-π/2
    2×0.40606073241005-π/2
    0.812121464820101-1.57079632675     		φ = -0.75867486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69067485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.572754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75867486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.468868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19986 KachelY 20786 0.69067485 -0.75867486 39.572754 -43.468868
    Oben rechts KachelX + 1 19987 KachelY 20786 0.69086660 -0.75867486 39.583740 -43.468868
    Unten links KachelX 19986 KachelY + 1 20787 0.69067485 -0.75881401 39.572754 -43.476840
    Unten rechts KachelX + 1 19987 KachelY + 1 20787 0.69086660 -0.75881401 39.583740 -43.476840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75867486--0.75881401) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dl = 886.52465000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75867486--0.75881401) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dr = 886.52465000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69067485-0.69086660) × cos(-0.75867486) × R
    0.000191750000000046 × 0.725748291433017 × 6371000     		do = 886.602598435226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69067485-0.69086660) × cos(-0.75881401) × R
    0.000191750000000046 × 0.725652554726991 × 6371000     		du = 886.485642717478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75867486)-sin(-0.75881401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725748291433017-0.725652554726991)×R²
    abs(0.69086660-0.69067485)×9.57367060269165e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57367060269165e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57367060269165e-05×40589641000000     		ar = 785943.217472033m²