Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19986 / 20785
↖ ↑ ↗
← S 43.460894°
E 39.572754°		 ← 886.72 m → S 43.460894°
E 39.583740°		 →
↑
886.65 m
↓
↑
886.65 m
↓
S 43.468868°
E 39.572754°		 ← 886.60 m →
786 160 m²		 S 43.468868°
E 39.583740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609939575195312 y=0.634323120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609939575195312 × 215)
    floor (0.609939575195312 × 32768)
    floor (19986.5)     		tx = 19986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634323120117188 × 215)
    floor (0.634323120117188 × 32768)
    floor (20785.5)     		ty = 20785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19986 / 20785 ti = "15/19986/20785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19986/20785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19986 ÷ 215
    19986 ÷ 32768     		x = 0.60992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20785 ÷ 215
    20785 ÷ 32768     		y = 0.634307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60992431640625 × 2 - 1) × π
    0.2198486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69067485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.26861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.843881180911469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69067485} λ = 0.69067485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843881180911469))-π/2
    2×atan(0.430038224133551)-π/2
    2×0.406130317245219-π/2
    0.812260634490438-1.57079632675     		φ = -0.75853569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69067485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.572754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75853569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.460894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19986 KachelY 20785 0.69067485 -0.75853569 39.572754 -43.460894
    Oben rechts KachelX + 1 19987 KachelY 20785 0.69086660 -0.75853569 39.583740 -43.460894
    Unten links KachelX 19986 KachelY + 1 20786 0.69067485 -0.75867486 39.572754 -43.468868
    Unten rechts KachelX + 1 19987 KachelY + 1 20786 0.69086660 -0.75867486 39.583740 -43.468868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75853569--0.75867486) × R
    0.000139169999999966 × 6371000     		dl = 886.652069999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75853569--0.75867486) × R
    0.000139169999999966 × 6371000     		dr = 886.652069999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69067485-0.69086660) × cos(-0.75853569) × R
    0.000191750000000046 × 0.725844027843768 × 6371000     		do = 886.719553792253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69067485-0.69086660) × cos(-0.75867486) × R
    0.000191750000000046 × 0.725748291433017 × 6371000     		du = 886.602598435226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75853569)-sin(-0.75867486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725844027843768-0.725748291433017)×R²
    abs(0.69086660-0.69067485)×9.57364107506686e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57364107506686e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57364107506686e-05×40589641000000     		ar = 786159.879793997m²