Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19985 / 21029
↖ ↑ ↗
← S 45.375303°
E 39.561767°		 ← 858.15 m → S 45.375303°
E 39.572754°		 →
↑
858.05 m
↓
↑
858.05 m
↓
S 45.383019°
E 39.561767°		 ← 858.04 m →
736 284 m²		 S 45.383019°
E 39.572754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609909057617188 y=0.641769409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609909057617188 × 215)
    floor (0.609909057617188 × 32768)
    floor (19985.5)     		tx = 19985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641769409179688 × 215)
    floor (0.641769409179688 × 32768)
    floor (21029.5)     		ty = 21029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19985 / 21029 ti = "15/19985/21029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19985/21029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19985 ÷ 215
    19985 ÷ 32768     		x = 0.609893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21029 ÷ 215
    21029 ÷ 32768     		y = 0.641754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609893798828125 × 2 - 1) × π
    0.21978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69048310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.28350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890667594940643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69048310} λ = 0.69048310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890667594940643))-π/2
    2×atan(0.410381692540246)-π/2
    2×0.389423950854093-π/2
    0.778847901708187-1.57079632675     		φ = -0.79194843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69048310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.561767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79194843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.375303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19985 KachelY 21029 0.69048310 -0.79194843 39.561767 -45.375303
    Oben rechts KachelX + 1 19986 KachelY 21029 0.69067485 -0.79194843 39.572754 -45.375303
    Unten links KachelX 19985 KachelY + 1 21030 0.69048310 -0.79208311 39.561767 -45.383019
    Unten rechts KachelX + 1 19986 KachelY + 1 21030 0.69067485 -0.79208311 39.572754 -45.383019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79194843--0.79208311) × R
    0.000134679999999943 × 6371000     		dl = 858.046279999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79194843--0.79208311) × R
    0.000134679999999943 × 6371000     		dr = 858.046279999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69048310-0.69067485) × cos(-0.79194843) × R
    0.000191749999999935 × 0.702459906869875 × 6371000     		do = 858.152593783294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69048310-0.69067485) × cos(-0.79208311) × R
    0.000191749999999935 × 0.702364045603044 × 6371000     		du = 858.035485897178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79194843)-sin(-0.79208311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702459906869875-0.702364045603044)×R²
    abs(0.69067485-0.69048310)×9.58612668311432e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58612668311432e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58612668311432e-05×40589641000000     		ar = 736284.399887767m²