Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19984 / 20788
↖ ↑ ↗
← S 43.484812°
E 39.550781°		 ← 886.37 m → S 43.484812°
E 39.561767°		 →
↑
886.27 m
↓
↑
886.27 m
↓
S 43.492783°
E 39.550781°		 ← 886.25 m →
785 510 m²		 S 43.492783°
E 39.561767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609878540039062 y=0.634414672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609878540039062 × 215)
    floor (0.609878540039062 × 32768)
    floor (19984.5)     		tx = 19984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634414672851562 × 215)
    floor (0.634414672851562 × 32768)
    floor (20788.5)     		ty = 20788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19984 / 20788 ti = "15/19984/20788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19984/20788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19984 ÷ 215
    19984 ÷ 32768     		x = 0.60986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20788 ÷ 215
    20788 ÷ 32768     		y = 0.6343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844456423706909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69029135} λ = 0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844456423706909))-π/2
    2×atan(0.429790918880456)-π/2
    2×0.40592159027583-π/2
    0.811843180551659-1.57079632675     		φ = -0.75895315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75895315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.484812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19984 KachelY 20788 0.69029135 -0.75895315 39.550781 -43.484812
    Oben rechts KachelX + 1 19985 KachelY 20788 0.69048310 -0.75895315 39.561767 -43.484812
    Unten links KachelX 19984 KachelY + 1 20789 0.69029135 -0.75909226 39.550781 -43.492783
    Unten rechts KachelX + 1 19985 KachelY + 1 20789 0.69048310 -0.75909226 39.561767 -43.492783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75895315--0.75909226) × R
    0.000139109999999998 × 6371000     		dl = 886.269809999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75895315--0.75909226) × R
    0.000139109999999998 × 6371000     		dr = 886.269809999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69029135-0.69048310) × cos(-0.75895315) × R
    0.000191750000000046 × 0.725556810851977 × 6371000     		do = 886.368678241814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69029135-0.69048310) × cos(-0.75909226) × R
    0.000191750000000046 × 0.725461073578125 × 6371000     		du = 886.251721830388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75895315)-sin(-0.75909226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725556810851977-0.725461073578125)×R²
    abs(0.69048310-0.69029135)×9.57372738528139e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57372738528139e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57372738528139e-05×40589641000000     		ar = 785509.973853302m²