Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19981 / 21031
↖ ↑ ↗
← S 45.390735°
E 39.517822°		 ← 857.92 m → S 45.390735°
E 39.528809°		 →
↑
857.86 m
↓
↑
857.86 m
↓
S 45.398450°
E 39.517822°		 ← 857.80 m →
735 919 m²		 S 45.398450°
E 39.528809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609786987304688 y=0.641830444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609786987304688 × 215)
    floor (0.609786987304688 × 32768)
    floor (19981.5)     		tx = 19981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641830444335938 × 215)
    floor (0.641830444335938 × 32768)
    floor (21031.5)     		ty = 21031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19981 / 21031 ti = "15/19981/21031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19981/21031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19981 ÷ 215
    19981 ÷ 32768     		x = 0.609771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21031 ÷ 215
    21031 ÷ 32768     		y = 0.641815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609771728515625 × 2 - 1) × π
    0.21954345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68971611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.28363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.891051090137604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68971611} λ = 0.68971611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891051090137604))-π/2
    2×atan(0.410224343305503)-π/2
    2×0.389289274235201-π/2
    0.778578548470403-1.57079632675     		φ = -0.79221778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68971611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.517822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79221778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.390735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19981 KachelY 21031 0.68971611 -0.79221778 39.517822 -45.390735
    Oben rechts KachelX + 1 19982 KachelY 21031 0.68990786 -0.79221778 39.528809 -45.390735
    Unten links KachelX 19981 KachelY + 1 21032 0.68971611 -0.79235243 39.517822 -45.398450
    Unten rechts KachelX + 1 19982 KachelY + 1 21032 0.68990786 -0.79235243 39.528809 -45.398450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79221778--0.79235243) × R
    0.000134650000000014 × 6371000     		dl = 857.855150000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79221778--0.79235243) × R
    0.000134650000000014 × 6371000     		dr = 857.855150000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68971611-0.68990786) × cos(-0.79221778) × R
    0.000191750000000046 × 0.702268178715366 × 6371000     		do = 857.918371144911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68971611-0.68990786) × cos(-0.79235243) × R
    0.000191750000000046 × 0.702172313331486 × 6371000     		du = 857.801258229248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79221778)-sin(-0.79235243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702268178715366-0.702172313331486)×R²
    abs(0.68990786-0.68971611)×9.586538387929e-05×R²
    0.000191750000000046×9.586538387929e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.586538387929e-05×40589641000000     		ar = 735919.461119086m²