Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19980 / 21030
↖ ↑ ↗
← S 45.383019°
E 39.506836°		 ← 858.04 m → S 45.383019°
E 39.517822°		 →
↑
857.98 m
↓
↑
857.98 m
↓
S 45.390735°
E 39.506836°		 ← 857.92 m →
736 129 m²		 S 45.390735°
E 39.517822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609756469726562 y=0.641799926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609756469726562 × 215)
    floor (0.609756469726562 × 32768)
    floor (19980.5)     		tx = 19980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641799926757812 × 215)
    floor (0.641799926757812 × 32768)
    floor (21030.5)     		ty = 21030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19980 / 21030 ti = "15/19980/21030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19980/21030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19980 ÷ 215
    19980 ÷ 32768     		x = 0.6097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21030 ÷ 215
    21030 ÷ 32768     		y = 0.64178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6097412109375 × 2 - 1) × π
    0.219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68952436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.2835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.890859342539124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68952436} λ = 0.68952436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890859342539124))-π/2
    2×atan(0.41030301038004)-π/2
    2×0.389356607949165-π/2
    0.778713215898331-1.57079632675     		φ = -0.79208311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68952436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.506836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79208311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.383019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19980 KachelY 21030 0.68952436 -0.79208311 39.506836 -45.383019
    Oben rechts KachelX + 1 19981 KachelY 21030 0.68971611 -0.79208311 39.517822 -45.383019
    Unten links KachelX 19980 KachelY + 1 21031 0.68952436 -0.79221778 39.506836 -45.390735
    Unten rechts KachelX + 1 19981 KachelY + 1 21031 0.68971611 -0.79221778 39.517822 -45.390735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79208311--0.79221778) × R
    0.000134670000000003 × 6371000     		dl = 857.982570000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79208311--0.79221778) × R
    0.000134670000000003 × 6371000     		dr = 857.982570000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68952436-0.68971611) × cos(-0.79208311) × R
    0.000191750000000046 × 0.702364045603044 × 6371000     		do = 858.035485897675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68952436-0.68971611) × cos(-0.79221778) × R
    0.000191750000000046 × 0.702268178715366 × 6371000     		du = 857.918371144911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79208311)-sin(-0.79221778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702364045603044-0.702268178715366)×R²
    abs(0.68971611-0.68952436)×9.58668876784863e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58668876784863e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58668876784863e-05×40589641000000     		ar = 736129.251246374m²