Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19979 / 21026
↖ ↑ ↗
← S 45.352145°
E 39.495850°		 ← 858.46 m → S 45.352145°
E 39.506836°		 →
↑
858.43 m
↓
↑
858.43 m
↓
S 45.359865°
E 39.495850°		 ← 858.34 m →
736 876 m²		 S 45.359865°
E 39.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609725952148438 y=0.641677856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609725952148438 × 215)
    floor (0.609725952148438 × 32768)
    floor (19979.5)     		tx = 19979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641677856445312 × 215)
    floor (0.641677856445312 × 32768)
    floor (21026.5)     		ty = 21026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19979 / 21026 ti = "15/19979/21026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19979/21026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19979 ÷ 215
    19979 ÷ 32768     		x = 0.609710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21026 ÷ 215
    21026 ÷ 32768     		y = 0.64166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609710693359375 × 2 - 1) × π
    0.21942138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68933262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890092352145203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68933262} λ = 0.68933262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890092352145203))-π/2
    2×atan(0.41061782956381)-π/2
    2×0.389626034714984-π/2
    0.779252069429968-1.57079632675     		φ = -0.79154426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68933262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.495850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79154426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.352145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19979 KachelY 21026 0.68933262 -0.79154426 39.495850 -45.352145
    Oben rechts KachelX + 1 19980 KachelY 21026 0.68952436 -0.79154426 39.506836 -45.352145
    Unten links KachelX 19979 KachelY + 1 21027 0.68933262 -0.79167900 39.495850 -45.359865
    Unten rechts KachelX + 1 19980 KachelY + 1 21027 0.68952436 -0.79167900 39.506836 -45.359865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79154426--0.79167900) × R
    0.000134740000000022 × 6371000     		dl = 858.428540000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79154426--0.79167900) × R
    0.000134740000000022 × 6371000     		dr = 858.428540000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68933262-0.68952436) × cos(-0.79154426) × R
    0.000191739999999996 × 0.702747506700268 × 6371000     		do = 858.459164981015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68933262-0.68952436) × cos(-0.79167900) × R
    0.000191739999999996 × 0.702651640984049 × 6371000     		du = 858.342057766957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79154426)-sin(-0.79167900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702747506700268-0.702651640984049)×R²
    abs(0.68952436-0.68933262)×9.58657162193344e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58657162193344e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58657162193344e-05×40589641000000     		ar = 736875.584672206m²