Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19971 / 20729
↖ ↑ ↗
← S 43.012681°
E 39.407959°		 ← 893.22 m → S 43.012681°
E 39.418945°		 →
↑
893.21 m
↓
↑
893.21 m
↓
S 43.020714°
E 39.407959°		 ← 893.10 m →
797 784 m²		 S 43.020714°
E 39.418945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609481811523438 y=0.632614135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609481811523438 × 215)
    floor (0.609481811523438 × 32768)
    floor (19971.5)     		tx = 19971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632614135742188 × 215)
    floor (0.632614135742188 × 32768)
    floor (20729.5)     		ty = 20729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19971 / 20729 ti = "15/19971/20729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19971/20729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19971 ÷ 215
    19971 ÷ 32768     		x = 0.609466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20729 ÷ 215
    20729 ÷ 32768     		y = 0.632598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609466552734375 × 2 - 1) × π
    0.21893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68779864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.26519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.833143315396576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68779864} λ = 0.68779864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833143315396576))-π/2
    2×atan(0.434680797808453)-π/2
    2×0.41004171261732-π/2
    0.820083425234641-1.57079632675     		φ = -0.75071290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68779864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.407959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75071290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.012681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19971 KachelY 20729 0.68779864 -0.75071290 39.407959 -43.012681
    Oben rechts KachelX + 1 19972 KachelY 20729 0.68799038 -0.75071290 39.418945 -43.012681
    Unten links KachelX 19971 KachelY + 1 20730 0.68779864 -0.75085310 39.407959 -43.020714
    Unten rechts KachelX + 1 19972 KachelY + 1 20730 0.68799038 -0.75085310 39.418945 -43.020714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75071290--0.75085310) × R
    0.000140200000000035 × 6371000     		dl = 893.214200000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75071290--0.75085310) × R
    0.000140200000000035 × 6371000     		dr = 893.214200000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68779864-0.68799038) × cos(-0.75071290) × R
    0.000191739999999996 × 0.731202742711166 × 6371000     		do = 893.219385276854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68779864-0.68799038) × cos(-0.75085310) × R
    0.000191739999999996 × 0.731107096664076 × 6371000     		du = 893.102546405231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75071290)-sin(-0.75085310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731202742711166-0.731107096664076)×R²
    abs(0.68799038-0.68779864)×9.56460470897813e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56460470897813e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56460470897813e-05×40589641000000     		ar = 797784.058882223m²