Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19969 / 35331
↖ ↑ ↗
← N 63.544882°
W125.153503°		 ← 136.04 m → N 63.544882°
W125.150757°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
N 63.543658°
W125.153503°		 ← 136.04 m →
18 513 m²		 N 63.543658°
W125.150757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152355194091797 y=0.269557952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152355194091797 × 217)
    floor (0.152355194091797 × 131072)
    floor (19969.5)     		tx = 19969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269557952880859 × 217)
    floor (0.269557952880859 × 131072)
    floor (35331.5)     		ty = 35331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19969 / 35331 ti = "17/19969/35331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19969/35331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19969 ÷ 217
    19969 ÷ 131072     		x = 0.152351379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35331 ÷ 217
    35331 ÷ 131072     		y = 0.269554138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152351379394531 × 2 - 1) × π
    -0.695297241210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.18434070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269554138183594 × 2 - 1) × π
    0.460891723632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.4479340530238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18434070} λ = -2.18434070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4479340530238))-π/2
    2×atan(4.25431623814326)-π/2
    2×1.33993186752077-π/2
    2.67986373504154-1.57079632675     		φ = 1.10906741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18434070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.153503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10906741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.544882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19969 KachelY 35331 -2.18434070 1.10906741 -125.153503 63.544882
    Oben rechts KachelX + 1 19970 KachelY 35331 -2.18429277 1.10906741 -125.150757 63.544882
    Unten links KachelX 19969 KachelY + 1 35332 -2.18434070 1.10904605 -125.153503 63.543658
    Unten rechts KachelX + 1 19970 KachelY + 1 35332 -2.18429277 1.10904605 -125.150757 63.543658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10906741-1.10904605) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10906741-1.10904605) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18434070--2.18429277) × cos(1.10906741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445496642891496 × 6371000     		do = 136.037759231615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18434070--2.18429277) × cos(1.10904605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445515766047761 × 6371000     		du = 136.043598717433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10906741)-sin(1.10904605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445496642891496-0.445515766047761)×R²
    abs(-2.18429277--2.18434070)×1.91231562655658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91231562655658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91231562655658e-05×40589641000000     		ar = 18513.0359410956m²