Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19968 / 21011
↖ ↑ ↗
← S 45.236218°
E 39.375000°		 ← 860.26 m → S 45.236218°
E 39.385986°		 →
↑
860.15 m
↓
↑
860.15 m
↓
S 45.243953°
E 39.375000°		 ← 860.14 m →
739 902 m²		 S 45.243953°
E 39.385986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609390258789062 y=0.641220092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609390258789062 × 215)
    floor (0.609390258789062 × 32768)
    floor (19968.5)     		tx = 19968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641220092773438 × 215)
    floor (0.641220092773438 × 32768)
    floor (21011.5)     		ty = 21011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19968 / 21011 ti = "15/19968/21011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19968/21011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19968 ÷ 215
    19968 ÷ 32768     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21011 ÷ 215
    21011 ÷ 32768     		y = 0.641204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.28240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.887216138167999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887216138167999))-π/2
    2×atan(0.411800554373954)-π/2
    2×0.390637694831748-π/2
    0.781275389663496-1.57079632675     		φ = -0.78952094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78952094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.236218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19968 KachelY 21011 0.68722339 -0.78952094 39.375000 -45.236218
    Oben rechts KachelX + 1 19969 KachelY 21011 0.68741514 -0.78952094 39.385986 -45.236218
    Unten links KachelX 19968 KachelY + 1 21012 0.68722339 -0.78965595 39.375000 -45.243953
    Unten rechts KachelX + 1 19969 KachelY + 1 21012 0.68741514 -0.78965595 39.385986 -45.243953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78952094--0.78965595) × R
    0.000135010000000046 × 6371000     		dl = 860.148710000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78952094--0.78965595) × R
    0.000135010000000046 × 6371000     		dr = 860.148710000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68741514) × cos(-0.78952094) × R
    0.000191750000000046 × 0.704185536712189 × 6371000     		do = 860.260690930133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68741514) × cos(-0.78965595) × R
    0.000191750000000046 × 0.704089671033564 × 6371000     		du = 860.143577654396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78952094)-sin(-0.78965595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704185536712189-0.704089671033564)×R²
    abs(0.68741514-0.68722339)×9.58656786257395e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58656786257395e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58656786257395e-05×40589641000000     		ar = 739901.757274702m²