Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19964 / 21012
↖ ↑ ↗
← S 45.243953°
E 39.331055°		 ← 860.14 m → S 45.243953°
E 39.342041°		 →
↑
860.08 m
↓
↑
860.08 m
↓
S 45.251688°
E 39.331055°		 ← 860.03 m →
739 746 m²		 S 45.251688°
E 39.342041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609268188476562 y=0.641250610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609268188476562 × 215)
    floor (0.609268188476562 × 32768)
    floor (19964.5)     		tx = 19964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641250610351562 × 215)
    floor (0.641250610351562 × 32768)
    floor (21012.5)     		ty = 21012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19964 / 21012 ti = "15/19964/21012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19964/21012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19964 ÷ 215
    19964 ÷ 32768     		x = 0.6092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21012 ÷ 215
    21012 ÷ 32768     		y = 0.6412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6092529296875 × 2 - 1) × π
    0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88740788576648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68645640} λ = 0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88740788576648))-π/2
    2×atan(0.411721600176481)-π/2
    2×0.390570186484511-π/2
    0.781140372969022-1.57079632675     		φ = -0.78965595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78965595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.243953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19964 KachelY 21012 0.68645640 -0.78965595 39.331055 -45.243953
    Oben rechts KachelX + 1 19965 KachelY 21012 0.68664815 -0.78965595 39.342041 -45.243953
    Unten links KachelX 19964 KachelY + 1 21013 0.68645640 -0.78979095 39.331055 -45.251688
    Unten rechts KachelX + 1 19965 KachelY + 1 21013 0.68664815 -0.78979095 39.342041 -45.251688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78965595--0.78979095) × R
    0.000134999999999996 × 6371000     		dl = 860.084999999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78965595--0.78979095) × R
    0.000134999999999996 × 6371000     		dr = 860.084999999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68645640-0.68664815) × cos(-0.78965595) × R
    0.000191750000000046 × 0.704089671033564 × 6371000     		do = 860.143577654396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68645640-0.68664815) × cos(-0.78979095) × R
    0.000191750000000046 × 0.703993799623064 × 6371000     		du = 860.026457376376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78965595)-sin(-0.78979095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704089671033564-0.703993799623064)×R²
    abs(0.68664815-0.68645640)×9.58714104998259e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58714104998259e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58714104998259e-05×40589641000000     		ar = 739746.223413021m²