Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19962 / 21046
↖ ↑ ↗
← S 45.506347°
E 39.309082°		 ← 856.12 m → S 45.506347°
E 39.320068°		 →
↑
856.13 m
↓
↑
856.13 m
↓
S 45.514046°
E 39.309082°		 ← 856 m →
732 902 m²		 S 45.514046°
E 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609207153320312 y=0.642288208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609207153320312 × 215)
    floor (0.609207153320312 × 32768)
    floor (19962.5)     		tx = 19962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642288208007812 × 215)
    floor (0.642288208007812 × 32768)
    floor (21046.5)     		ty = 21046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19962 / 21046 ti = "15/19962/21046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19962/21046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19962 ÷ 215
    19962 ÷ 32768     		x = 0.60919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21046 ÷ 215
    21046 ÷ 32768     		y = 0.64227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60919189453125 × 2 - 1) × π
    0.2183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68607291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68607291} λ = 0.68607291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893927304114807))-π/2
    2×atan(0.409046145502224)-π/2
    2×0.38828037141709-π/2
    0.776560742834179-1.57079632675     		φ = -0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68607291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19962 KachelY 21046 0.68607291 -0.79423558 39.309082 -45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 19963 KachelY 21046 0.68626465 -0.79423558 39.320068 -45.506347
    Unten links KachelX 19962 KachelY + 1 21047 0.68607291 -0.79436996 39.309082 -45.514046
    Unten rechts KachelX + 1 19963 KachelY + 1 21047 0.68626465 -0.79436996 39.320068 -45.514046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79423558--0.79436996) × R
    0.00013437999999999 × 6371000     		dl = 856.134979999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79423558--0.79436996) × R
    0.00013437999999999 × 6371000     		dr = 856.134979999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68607291-0.68626465) × cos(-0.79423558) × R
    0.000191739999999996 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 856.117094760838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68607291-0.68626465) × cos(-0.79436996) × R
    0.000191739999999996 × 0.700734389647782 × 6371000     		du = 855.999990430542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79423558)-sin(-0.79436996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.700734389647782)×R²
    abs(0.68626465-0.68607291)×9.58633555293575e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58633555293575e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58633555293575e-05×40589641000000     		ar = 732901.664346769m²