Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19962 / 21013
↖ ↑ ↗
← S 45.251688°
E 39.309082°		 ← 859.98 m → S 45.251688°
E 39.320068°		 →
↑
859.96 m
↓
↑
859.96 m
↓
S 45.259422°
E 39.309082°		 ← 859.86 m →
739 497 m²		 S 45.259422°
E 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609207153320312 y=0.641281127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609207153320312 × 215)
    floor (0.609207153320312 × 32768)
    floor (19962.5)     		tx = 19962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641281127929688 × 215)
    floor (0.641281127929688 × 32768)
    floor (21013.5)     		ty = 21013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19962 / 21013 ti = "15/19962/21013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19962/21013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19962 ÷ 215
    19962 ÷ 32768     		x = 0.60919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21013 ÷ 215
    21013 ÷ 32768     		y = 0.641265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60919189453125 × 2 - 1) × π
    0.2183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68607291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88759963336496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68607291} λ = 0.68607291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88759963336496))-π/2
    2×atan(0.411642661116834)-π/2
    2×0.390502687328726-π/2
    0.781005374657452-1.57079632675     		φ = -0.78979095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68607291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78979095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.251688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19962 KachelY 21013 0.68607291 -0.78979095 39.309082 -45.251688
    Oben rechts KachelX + 1 19963 KachelY 21013 0.68626465 -0.78979095 39.320068 -45.251688
    Unten links KachelX 19962 KachelY + 1 21014 0.68607291 -0.78992593 39.309082 -45.259422
    Unten rechts KachelX + 1 19963 KachelY + 1 21014 0.68626465 -0.78992593 39.320068 -45.259422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78979095--0.78992593) × R
    0.000134980000000007 × 6371000     		dl = 859.957580000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78979095--0.78992593) × R
    0.000134980000000007 × 6371000     		dr = 859.957580000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68607291-0.68626465) × cos(-0.78979095) × R
    0.000191739999999996 × 0.703993799623064 × 6371000     		do = 859.981605931177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68607291-0.68626465) × cos(-0.78992593) × R
    0.000191739999999996 × 0.7038979295883 × 6371000     		du = 859.864493441691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78979095)-sin(-0.78992593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703993799623064-0.7038979295883)×R²
    abs(0.68626465-0.68607291)×9.58700347638564e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58700347638564e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58700347638564e-05×40589641000000     		ar = 739497.345917838m²