Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19959 / 21037
↖ ↑ ↗
← S 45.437008°
E 39.276123°		 ← 857.22 m → S 45.437008°
E 39.287109°		 →
↑
857.15 m
↓
↑
857.15 m
↓
S 45.444717°
E 39.276123°		 ← 857.10 m →
734 716 m²		 S 45.444717°
E 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609115600585938 y=0.642013549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609115600585938 × 215)
    floor (0.609115600585938 × 32768)
    floor (19959.5)     		tx = 19959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642013549804688 × 215)
    floor (0.642013549804688 × 32768)
    floor (21037.5)     		ty = 21037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19959 / 21037 ti = "15/19959/21037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19959/21037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19959 ÷ 215
    19959 ÷ 32768     		x = 0.609100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21037 ÷ 215
    21037 ÷ 32768     		y = 0.641998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609100341796875 × 2 - 1) × π
    0.21820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68549766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.28399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892201575728485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68549766} λ = 0.68549766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892201575728485))-π/2
    2×atan(0.409752657495393)-π/2
    2×0.388885464959738-π/2
    0.777770929919477-1.57079632675     		φ = -0.79302540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68549766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.276123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79302540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.437008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19959 KachelY 21037 0.68549766 -0.79302540 39.276123 -45.437008
    Oben rechts KachelX + 1 19960 KachelY 21037 0.68568941 -0.79302540 39.287109 -45.437008
    Unten links KachelX 19959 KachelY + 1 21038 0.68549766 -0.79315994 39.276123 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 19960 KachelY + 1 21038 0.68568941 -0.79315994 39.287109 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79302540--0.79315994) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dl = 857.154340000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79302540--0.79315994) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dr = 857.154340000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68549766-0.68568941) × cos(-0.79302540) × R
    0.000191750000000046 × 0.701692994978812 × 6371000     		do = 857.215704116375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68549766-0.68568941) × cos(-0.79315994) × R
    0.000191750000000046 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 857.098593705967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79302540)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701692994978812-0.701597131645665)×R²
    abs(0.68568941-0.68549766)×9.58633331473724e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58633331473724e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58633331473724e-05×40589641000000     		ar = 734715.971359525m²