Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19957 / 21036
↖ ↑ ↗
← S 45.429299°
E 39.254150°		 ← 857.33 m → S 45.429299°
E 39.265137°		 →
↑
857.28 m
↓
↑
857.28 m
↓
S 45.437008°
E 39.254150°		 ← 857.22 m →
734 926 m²		 S 45.437008°
E 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609054565429688 y=0.641983032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609054565429688 × 215)
    floor (0.609054565429688 × 32768)
    floor (19957.5)     		tx = 19957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641983032226562 × 215)
    floor (0.641983032226562 × 32768)
    floor (21036.5)     		ty = 21036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19957 / 21036 ti = "15/19957/21036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19957/21036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19957 ÷ 215
    19957 ÷ 32768     		x = 0.609039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21036 ÷ 215
    21036 ÷ 32768     		y = 0.6419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609039306640625 × 2 - 1) × π
    0.21807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68511417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.283935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892009828130005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68511417} λ = 0.68511417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892009828130005))-π/2
    2×atan(0.409831234116637)-π/2
    2×0.388952743528645-π/2
    0.77790548705729-1.57079632675     		φ = -0.79289084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68511417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.254150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79289084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.429299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19957 KachelY 21036 0.68511417 -0.79289084 39.254150 -45.429299
    Oben rechts KachelX + 1 19958 KachelY 21036 0.68530592 -0.79289084 39.265137 -45.429299
    Unten links KachelX 19957 KachelY + 1 21037 0.68511417 -0.79302540 39.254150 -45.437008
    Unten rechts KachelX + 1 19958 KachelY + 1 21037 0.68530592 -0.79302540 39.265137 -45.437008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79289084--0.79302540) × R
    0.000134560000000006 × 6371000     		dl = 857.281760000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79289084--0.79302540) × R
    0.000134560000000006 × 6371000     		dr = 857.281760000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68511417-0.68530592) × cos(-0.79289084) × R
    0.000191750000000046 × 0.701788859858306 × 6371000     		do = 857.332816415862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68511417-0.68530592) × cos(-0.79302540) × R
    0.000191750000000046 × 0.701692994978812 × 6371000     		du = 857.215704116375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79289084)-sin(-0.79302540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701788859858306-0.701692994978812)×R²
    abs(0.68530592-0.68511417)×9.58648794945338e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58648794945338e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58648794945338e-05×40589641000000     		ar = 734925.587752144m²