Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19957 / 20845
↖ ↑ ↗
← S 43.937462°
E 39.254150°		 ← 879.70 m → S 43.937462°
E 39.265137°		 →
↑
879.64 m
↓
↑
879.64 m
↓
S 43.945372°
E 39.254150°		 ← 879.58 m →
773 771 m²		 S 43.945372°
E 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609054565429688 y=0.636154174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609054565429688 × 215)
    floor (0.609054565429688 × 32768)
    floor (19957.5)     		tx = 19957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636154174804688 × 215)
    floor (0.636154174804688 × 32768)
    floor (20845.5)     		ty = 20845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19957 / 20845 ti = "15/19957/20845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19957/20845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19957 ÷ 215
    19957 ÷ 32768     		x = 0.609039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20845 ÷ 215
    20845 ÷ 32768     		y = 0.636138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609039306640625 × 2 - 1) × π
    0.21807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68511417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.27227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.855386036820282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68511417} λ = 0.68511417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855386036820282))-π/2
    2×atan(0.425119047796184)-π/2
    2×0.401971477673802-π/2
    0.803942955347603-1.57079632675     		φ = -0.76685337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68511417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.254150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76685337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.937462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19957 KachelY 20845 0.68511417 -0.76685337 39.254150 -43.937462
    Oben rechts KachelX + 1 19958 KachelY 20845 0.68530592 -0.76685337 39.265137 -43.937462
    Unten links KachelX 19957 KachelY + 1 20846 0.68511417 -0.76699144 39.254150 -43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 19958 KachelY + 1 20846 0.68530592 -0.76699144 39.265137 -43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76685337--0.76699144) × R
    0.00013806999999999 × 6371000     		dl = 879.643969999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76685337--0.76699144) × R
    0.00013806999999999 × 6371000     		dr = 879.643969999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68511417-0.68530592) × cos(-0.76685337) × R
    0.000191750000000046 × 0.720097591907635 × 6371000     		do = 879.69948210506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68511417-0.68530592) × cos(-0.76699144) × R
    0.000191750000000046 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 879.582436994533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76685337)-sin(-0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720097591907635-0.720001782027159)×R²
    abs(0.68530592-0.68511417)×9.58098804758611e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58098804758611e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58098804758611e-05×40589641000000     		ar = 773770.867062857m²