Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19956 / 21034
↖ ↑ ↗
← S 45.413876°
E 39.243164°		 ← 857.57 m → S 45.413876°
E 39.254150°		 →
↑
857.47 m
↓
↑
857.47 m
↓
S 45.421588°
E 39.243164°		 ← 857.45 m →
735 290 m²		 S 45.421588°
E 39.254150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609024047851562 y=0.641921997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609024047851562 × 215)
    floor (0.609024047851562 × 32768)
    floor (19956.5)     		tx = 19956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641921997070312 × 215)
    floor (0.641921997070312 × 32768)
    floor (21034.5)     		ty = 21034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19956 / 21034 ti = "15/19956/21034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19956/21034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19956 ÷ 215
    19956 ÷ 32768     		x = 0.6090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21034 ÷ 215
    21034 ÷ 32768     		y = 0.64190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6090087890625 × 2 - 1) × π
    0.218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68492242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68492242} λ = 0.68492242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891626332933044))-π/2
    2×atan(0.409988432566984)-π/2
    2×0.389087328238754-π/2
    0.778174656477509-1.57079632675     		φ = -0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68492242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19956 KachelY 21034 0.68492242 -0.79262167 39.243164 -45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 19957 KachelY 21034 0.68511417 -0.79262167 39.254150 -45.413876
    Unten links KachelX 19956 KachelY + 1 21035 0.68492242 -0.79275626 39.243164 -45.421588
    Unten rechts KachelX + 1 19957 KachelY + 1 21035 0.68511417 -0.79275626 39.254150 -45.421588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79262167--0.79275626) × R
    0.000134590000000046 × 6371000     		dl = 857.47289000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79262167--0.79275626) × R
    0.000134590000000046 × 6371000     		dr = 857.47289000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68492242-0.68511417) × cos(-0.79262167) × R
    0.000191749999999935 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 857.567037944939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68492242-0.68511417) × cos(-0.79275626) × R
    0.000191749999999935 × 0.701884726276747 × 6371000     		du = 857.44993059489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79262167)-sin(-0.79275626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.701884726276747)×R²
    abs(0.68511417-0.68492242)×9.5860828022043e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5860828022043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5860828022043e-05×40589641000000     		ar = 735290.279316594m²