Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19953 / 20849
↖ ↑ ↗
← S 43.969098°
E 39.210205°		 ← 879.23 m → S 43.969098°
E 39.221192°		 →
↑
879.20 m
↓
↑
879.20 m
↓
S 43.977005°
E 39.210205°		 ← 879.11 m →
772 967 m²		 S 43.977005°
E 39.221192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608932495117188 y=0.636276245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608932495117188 × 215)
    floor (0.608932495117188 × 32768)
    floor (19953.5)     		tx = 19953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636276245117188 × 215)
    floor (0.636276245117188 × 32768)
    floor (20849.5)     		ty = 20849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19953 / 20849 ti = "15/19953/20849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19953/20849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19953 ÷ 215
    19953 ÷ 32768     		x = 0.608917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20849 ÷ 215
    20849 ÷ 32768     		y = 0.636260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608917236328125 × 2 - 1) × π
    0.21783447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68434718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.856153027214203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68434718} λ = 0.68434718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856153027214203))-π/2
    2×atan(0.424793110581586)-π/2
    2×0.401695397191054-π/2
    0.803390794382109-1.57079632675     		φ = -0.76740553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68434718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.210205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76740553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.969098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19953 KachelY 20849 0.68434718 -0.76740553 39.210205 -43.969098
    Oben rechts KachelX + 1 19954 KachelY 20849 0.68453893 -0.76740553 39.221192 -43.969098
    Unten links KachelX 19953 KachelY + 1 20850 0.68434718 -0.76754353 39.210205 -43.977005
    Unten rechts KachelX + 1 19954 KachelY + 1 20850 0.68453893 -0.76754353 39.221192 -43.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76740553--0.76754353) × R
    0.000137999999999971 × 6371000     		dl = 879.197999999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76740553--0.76754353) × R
    0.000137999999999971 × 6371000     		dr = 879.197999999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68434718-0.68453893) × cos(-0.76740553) × R
    0.000191749999999935 × 0.719714353351712 × 6371000     		do = 879.231302842522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68434718-0.68453893) × cos(-0.76754353) × R
    0.000191749999999935 × 0.719618537197484 × 6371000     		du = 879.114250067734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76740553)-sin(-0.76754353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719714353351712-0.719618537197484)×R²
    abs(0.68453893-0.68434718)×9.58161542276015e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58161542276015e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58161542276015e-05×40589641000000     		ar = 772966.947940424m²