Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19952 / 21022
↖ ↑ ↗
← S 45.321254°
E 39.199219°		 ← 858.97 m → S 45.321254°
E 39.210205°		 →
↑
858.87 m
↓
↑
858.87 m
↓
S 45.328978°
E 39.199219°		 ← 858.86 m →
737 699 m²		 S 45.328978°
E 39.210205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608901977539062 y=0.641555786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608901977539062 × 215)
    floor (0.608901977539062 × 32768)
    floor (19952.5)     		tx = 19952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641555786132812 × 215)
    floor (0.641555786132812 × 32768)
    floor (21022.5)     		ty = 21022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19952 / 21022 ti = "15/19952/21022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19952/21022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19952 ÷ 215
    19952 ÷ 32768     		x = 0.60888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21022 ÷ 215
    21022 ÷ 32768     		y = 0.64154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60888671875 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.2830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889325361751282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68415543} λ = 0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889325361751282))-π/2
    2×atan(0.410932890303493)-π/2
    2×0.389895608538244-π/2
    0.779791217076488-1.57079632675     		φ = -0.79100511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79100511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.321254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19952 KachelY 21022 0.68415543 -0.79100511 39.199219 -45.321254
    Oben rechts KachelX + 1 19953 KachelY 21022 0.68434718 -0.79100511 39.210205 -45.321254
    Unten links KachelX 19952 KachelY + 1 21023 0.68415543 -0.79113992 39.199219 -45.328978
    Unten rechts KachelX + 1 19953 KachelY + 1 21023 0.68434718 -0.79113992 39.210205 -45.328978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79100511--0.79113992) × R
    0.000134810000000041 × 6371000     		dl = 858.87451000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79100511--0.79113992) × R
    0.000134810000000041 × 6371000     		dr = 858.87451000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68415543-0.68434718) × cos(-0.79100511) × R
    0.000191750000000046 × 0.703130977066346 × 6371000     		do = 858.972399475304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68415543-0.68434718) × cos(-0.79113992) × R
    0.000191750000000046 × 0.70303511263086 × 6371000     		du = 858.855287718236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79100511)-sin(-0.79113992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703130977066346-0.70303511263086)×R²
    abs(0.68434718-0.68415543)×9.58644354859262e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58644354859262e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58644354859262e-05×40589641000000     		ar = 737699.207668023m²