Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19951 / 4687
↖ ↑ ↗
← N 77.881121°
E 39.188232°		 ← 256.47 m → N 77.881121°
E 39.199219°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
N 77.878814°
E 39.188232°		 ← 256.52 m →
65 790 m²		 N 77.878814°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608871459960938 y=0.143051147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608871459960938 × 215)
    floor (0.608871459960938 × 32768)
    floor (19951.5)     		tx = 19951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143051147460938 × 215)
    floor (0.143051147460938 × 32768)
    floor (4687.5)     		ty = 4687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19951 / 4687 ti = "15/19951/4687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19951/4687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19951 ÷ 215
    19951 ÷ 32768     		x = 0.608856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4687 ÷ 215
    4687 ÷ 32768     		y = 0.143035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608856201171875 × 2 - 1) × π
    0.21771240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68396368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143035888671875 × 2 - 1) × π
    0.71392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24287165942319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68396368} λ = 0.68396368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24287165942319))-π/2
    2×atan(9.42034450356426)-π/2
    2×1.46503915162926-π/2
    2.93007830325853-1.57079632675     		φ = 1.35928198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68396368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.188232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35928198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.881121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19951 KachelY 4687 0.68396368 1.35928198 39.188232 77.881121
    Oben rechts KachelX + 1 19952 KachelY 4687 0.68415543 1.35928198 39.199219 77.881121
    Unten links KachelX 19951 KachelY + 1 4688 0.68396368 1.35924172 39.188232 77.878814
    Unten rechts KachelX + 1 19952 KachelY + 1 4688 0.68415543 1.35924172 39.199219 77.878814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35928198-1.35924172) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35928198-1.35924172) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68396368-0.68415543) × cos(1.35928198) × R
    0.000191750000000046 × 0.20994073823615 × 6371000     		do = 256.471846003318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68396368-0.68415543) × cos(1.35924172) × R
    0.000191750000000046 × 0.209980100836179 × 6371000     		du = 256.519932900496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35928198)-sin(1.35924172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20994073823615-0.209980100836179)×R²
    abs(0.68415543-0.68396368)×3.93626000288749e-05×R²
    0.000191750000000046×3.93626000288749e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.93626000288749e-05×40589641000000     		ar = 65790.287657791m²