Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19951 / 20795
↖ ↑ ↗
← S 43.540585°
E 39.188232°		 ← 885.55 m → S 43.540585°
E 39.199219°		 →
↑
885.51 m
↓
↑
885.51 m
↓
S 43.548548°
E 39.188232°		 ← 885.43 m →
784 107 m²		 S 43.548548°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608871459960938 y=0.634628295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608871459960938 × 215)
    floor (0.608871459960938 × 32768)
    floor (19951.5)     		tx = 19951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634628295898438 × 215)
    floor (0.634628295898438 × 32768)
    floor (20795.5)     		ty = 20795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19951 / 20795 ti = "15/19951/20795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19951/20795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19951 ÷ 215
    19951 ÷ 32768     		x = 0.608856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20795 ÷ 215
    20795 ÷ 32768     		y = 0.634613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608856201171875 × 2 - 1) × π
    0.21771240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68396368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.26922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.845798656896271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68396368} λ = 0.68396368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845798656896271))-π/2
    2×atan(0.429214426224986)-π/2
    2×0.40543488194944-π/2
    0.810869763898879-1.57079632675     		φ = -0.75992656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68396368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.188232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75992656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.540585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19951 KachelY 20795 0.68396368 -0.75992656 39.188232 -43.540585
    Oben rechts KachelX + 1 19952 KachelY 20795 0.68415543 -0.75992656 39.199219 -43.540585
    Unten links KachelX 19951 KachelY + 1 20796 0.68396368 -0.76006555 39.188232 -43.548548
    Unten rechts KachelX + 1 19952 KachelY + 1 20796 0.68415543 -0.76006555 39.199219 -43.548548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75992656--0.76006555) × R
    0.00013898999999995 × 6371000     		dl = 885.505289999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75992656--0.76006555) × R
    0.00013898999999995 × 6371000     		dr = 885.505289999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68396368-0.68415543) × cos(-0.75992656) × R
    0.000191750000000046 × 0.724886603177111 × 6371000     		do = 885.549926240546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68396368-0.68415543) × cos(-0.76006555) × R
    0.000191750000000046 × 0.724790850382972 × 6371000     		du = 885.432950868929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75992656)-sin(-0.76006555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724886603177111-0.724790850382972)×R²
    abs(0.68415543-0.68396368)×9.57527941392033e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57527941392033e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57527941392033e-05×40589641000000     		ar = 784107.354352002m²