Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19950 / 4689
↖ ↑ ↗
← N 77.876507°
E 39.177246°		 ← 256.55 m → N 77.876507°
E 39.188232°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
N 77.874199°
E 39.177246°		 ← 256.60 m →
65 828 m²		 N 77.874199°
E 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608840942382812 y=0.143112182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608840942382812 × 215)
    floor (0.608840942382812 × 32768)
    floor (19950.5)     		tx = 19950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143112182617188 × 215)
    floor (0.143112182617188 × 32768)
    floor (4689.5)     		ty = 4689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19950 / 4689 ti = "15/19950/4689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19950/4689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19950 ÷ 215
    19950 ÷ 32768     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4689 ÷ 215
    4689 ÷ 32768     		y = 0.143096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143096923828125 × 2 - 1) × π
    0.71380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24248816422623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24248816422623))-π/2
    2×atan(9.41673253932316)-π/2
    2×1.46499888844842-π/2
    2.92999777689684-1.57079632675     		φ = 1.35920145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35920145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.876507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19950 KachelY 4689 0.68377194 1.35920145 39.177246 77.876507
    Oben rechts KachelX + 1 19951 KachelY 4689 0.68396368 1.35920145 39.188232 77.876507
    Unten links KachelX 19950 KachelY + 1 4690 0.68377194 1.35916118 39.177246 77.874199
    Unten rechts KachelX + 1 19951 KachelY + 1 4690 0.68396368 1.35916118 39.188232 77.874199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35920145-1.35916118) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35920145-1.35916118) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68396368) × cos(1.35920145) × R
    0.000191739999999996 × 0.21001947287283 × 6371000     		do = 256.554650985137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68396368) × cos(1.35916118) × R
    0.000191739999999996 × 0.210058844568898 × 6371000     		du = 256.602746486022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35920145)-sin(1.35916118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21001947287283-0.210058844568898)×R²
    abs(0.68396368-0.68377194)×3.93716960680468e-05×R²
    0.000191739999999996×3.93716960680468e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.93716960680468e-05×40589641000000     		ar = 65827.8745751105m²