Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19950 / 20796
↖ ↑ ↗
← S 43.548548°
E 39.177246°		 ← 885.39 m → S 43.548548°
E 39.188232°		 →
↑
885.38 m
↓
↑
885.38 m
↓
S 43.556511°
E 39.177246°		 ← 885.27 m →
783 850 m²		 S 43.556511°
E 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608840942382812 y=0.634658813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608840942382812 × 215)
    floor (0.608840942382812 × 32768)
    floor (19950.5)     		tx = 19950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634658813476562 × 215)
    floor (0.634658813476562 × 32768)
    floor (20796.5)     		ty = 20796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19950 / 20796 ti = "15/19950/20796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19950/20796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19950 ÷ 215
    19950 ÷ 32768     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20796 ÷ 215
    20796 ÷ 32768     		y = 0.6346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.845990404494751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845990404494751))-π/2
    2×atan(0.429132133279514)-π/2
    2×0.405365388906918-π/2
    0.810730777813836-1.57079632675     		φ = -0.76006555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76006555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.548548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19950 KachelY 20796 0.68377194 -0.76006555 39.177246 -43.548548
    Oben rechts KachelX + 1 19951 KachelY 20796 0.68396368 -0.76006555 39.188232 -43.548548
    Unten links KachelX 19950 KachelY + 1 20797 0.68377194 -0.76020452 39.177246 -43.556511
    Unten rechts KachelX + 1 19951 KachelY + 1 20797 0.68396368 -0.76020452 39.188232 -43.556511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76006555--0.76020452) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dl = 885.377870000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76006555--0.76020452) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dr = 885.377870000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68396368) × cos(-0.76006555) × R
    0.000191739999999996 × 0.724790850382972 × 6371000     		do = 885.386774443619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68396368) × cos(-0.76020452) × R
    0.000191739999999996 × 0.724695097368557 × 6371000     		du = 885.269804903328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76006555)-sin(-0.76020452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724790850382972-0.724695097368557)×R²
    abs(0.68396368-0.68377194)×9.57530144148899e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57530144148899e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57530144148899e-05×40589641000000     		ar = 783850.076623561m²