Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19949 / 20727
↖ ↑ ↗
← S 42.996612°
E 39.166260°		 ← 893.50 m → S 42.996612°
E 39.177246°		 →
↑
893.47 m
↓
↑
893.47 m
↓
S 43.004647°
E 39.166260°		 ← 893.38 m →
798 262 m²		 S 43.004647°
E 39.177246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608810424804688 y=0.632553100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608810424804688 × 215)
    floor (0.608810424804688 × 32768)
    floor (19949.5)     		tx = 19949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632553100585938 × 215)
    floor (0.632553100585938 × 32768)
    floor (20727.5)     		ty = 20727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19949 / 20727 ti = "15/19949/20727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19949/20727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19949 ÷ 215
    19949 ÷ 32768     		x = 0.608795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20727 ÷ 215
    20727 ÷ 32768     		y = 0.632537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608795166015625 × 2 - 1) × π
    0.21759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68358019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.26507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832759820199615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68358019} λ = 0.68358019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832759820199615))-π/2
    2×atan(0.434847527774651)-π/2
    2×0.41018193732615-π/2
    0.820363874652299-1.57079632675     		φ = -0.75043245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68358019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.166260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75043245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.996612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19949 KachelY 20727 0.68358019 -0.75043245 39.166260 -42.996612
    Oben rechts KachelX + 1 19950 KachelY 20727 0.68377194 -0.75043245 39.177246 -42.996612
    Unten links KachelX 19949 KachelY + 1 20728 0.68358019 -0.75057269 39.166260 -43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 19950 KachelY + 1 20728 0.68377194 -0.75057269 39.177246 -43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75043245--0.75057269) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dl = 893.469040000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75043245--0.75057269) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dr = 893.469040000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68358019-0.68377194) × cos(-0.75043245) × R
    0.000191749999999935 × 0.731394025783571 × 6371000     		do = 893.49964911242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68358019-0.68377194) × cos(-0.75057269) × R
    0.000191749999999935 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 893.382805942754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75043245)-sin(-0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731394025783571-0.731298381206282)×R²
    abs(0.68377194-0.68358019)×9.56445772892778e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56445772892778e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56445772892778e-05×40589641000000     		ar = 798262.077163922m²