Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19948 / 4716
↖ ↑ ↗
← N 77.814050°
E 39.155273°		 ← 257.87 m → N 77.814050°
E 39.166260°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 77.811731°
E 39.155273°		 ← 257.92 m →
66 494 m²		 N 77.811731°
E 39.166260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608779907226562 y=0.143936157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608779907226562 × 215)
    floor (0.608779907226562 × 32768)
    floor (19948.5)     		tx = 19948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143936157226562 × 215)
    floor (0.143936157226562 × 32768)
    floor (4716.5)     		ty = 4716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19948 / 4716 ti = "15/19948/4716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19948/4716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19948 ÷ 215
    19948 ÷ 32768     		x = 0.6087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4716 ÷ 215
    4716 ÷ 32768     		y = 0.1439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6087646484375 × 2 - 1) × π
    0.217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68338844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    0.712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23731097906726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68338844} λ = 0.68338844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23731097906726))-π/2
    2×atan(9.36810635337034)-π/2
    2×1.46445385546886-π/2
    2.92890771093772-1.57079632675     		φ = 1.35811138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68338844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.155273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35811138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.814050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19948 KachelY 4716 0.68338844 1.35811138 39.155273 77.814050
    Oben rechts KachelX + 1 19949 KachelY 4716 0.68358019 1.35811138 39.166260 77.814050
    Unten links KachelX 19948 KachelY + 1 4717 0.68338844 1.35807091 39.155273 77.811731
    Unten rechts KachelX + 1 19949 KachelY + 1 4717 0.68358019 1.35807091 39.166260 77.811731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35811138-1.35807091) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dl = 257.834370000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35811138-1.35807091) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dr = 257.834370000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68338844-0.68358019) × cos(1.35811138) × R
    0.000191750000000046 × 0.211085106273904 × 6371000     		do = 257.869850914684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68338844-0.68358019) × cos(1.35807091) × R
    0.000191750000000046 × 0.211124664218301 × 6371000     		du = 257.918176452209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35811138)-sin(1.35807091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211085106273904-0.211124664218301)×R²
    abs(0.68358019-0.68338844)×3.95579443971117e-05×R²
    0.000191750000000046×3.95579443971117e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.95579443971117e-05×40589641000000     		ar = 66493.940553472m²