Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19947 / 4718
↖ ↑ ↗
← N 77.809412°
E 39.144287°		 ← 257.97 m → N 77.809412°
E 39.155273°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
N 77.807091°
E 39.144287°		 ← 258.01 m →
66 568 m²		 N 77.807091°
E 39.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608749389648438 y=0.143997192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608749389648438 × 215)
    floor (0.608749389648438 × 32768)
    floor (19947.5)     		tx = 19947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143997192382812 × 215)
    floor (0.143997192382812 × 32768)
    floor (4718.5)     		ty = 4718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19947 / 4718 ti = "15/19947/4718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19947/4718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19947 ÷ 215
    19947 ÷ 32768     		x = 0.608734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4718 ÷ 215
    4718 ÷ 32768     		y = 0.14398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608734130859375 × 2 - 1) × π
    0.21746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68319669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14398193359375 × 2 - 1) × π
    0.7120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2369274838703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68319669} λ = 0.68319669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2369274838703))-π/2
    2×atan(9.36451441836814)-π/2
    2×1.4644133728204-π/2
    2.92882674564081-1.57079632675     		φ = 1.35803042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68319669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.144287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35803042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.809412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19947 KachelY 4718 0.68319669 1.35803042 39.144287 77.809412
    Oben rechts KachelX + 1 19948 KachelY 4718 0.68338844 1.35803042 39.155273 77.809412
    Unten links KachelX 19947 KachelY + 1 4719 0.68319669 1.35798992 39.144287 77.807091
    Unten rechts KachelX + 1 19948 KachelY + 1 4719 0.68338844 1.35798992 39.155273 77.807091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35803042-1.35798992) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dl = 258.025499999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35803042-1.35798992) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dr = 258.025499999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68319669-0.68338844) × cos(1.35803042) × R
    0.000191749999999935 × 0.211164241365925 × 6371000     		do = 257.966525449001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68319669-0.68338844) × cos(1.35798992) × R
    0.000191749999999935 × 0.211203827941779 × 6371000     		du = 258.014885963837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35803042)-sin(1.35798992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211164241365925-0.211203827941779)×R²
    abs(0.68338844-0.68319669)×3.95865758537339e-05×R²
    0.000191749999999935×3.95865758537339e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.95865758537339e-05×40589641000000     		ar = 66568.1808441788m²