Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19946 / 20789
↖ ↑ ↗
← S 43.492783°
E 39.133301°		 ← 886.21 m → S 43.492783°
E 39.144287°		 →
↑
886.21 m
↓
↑
886.21 m
↓
S 43.500753°
E 39.133301°		 ← 886.09 m →
785 309 m²		 S 43.500753°
E 39.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608718872070312 y=0.634445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608718872070312 × 215)
    floor (0.608718872070312 × 32768)
    floor (19946.5)     		tx = 19946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634445190429688 × 215)
    floor (0.634445190429688 × 32768)
    floor (20789.5)     		ty = 20789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19946 / 20789 ti = "15/19946/20789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19946/20789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19946 ÷ 215
    19946 ÷ 32768     		x = 0.60870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20789 ÷ 215
    20789 ÷ 32768     		y = 0.634429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60870361328125 × 2 - 1) × π
    0.2174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68300495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68300495} λ = 0.68300495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844648171305389))-π/2
    2×atan(0.429708515404499)-π/2
    2×0.405852032977049-π/2
    0.811704065954099-1.57079632675     		φ = -0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68300495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.133301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19946 KachelY 20789 0.68300495 -0.75909226 39.133301 -43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 19947 KachelY 20789 0.68319669 -0.75909226 39.144287 -43.492783
    Unten links KachelX 19946 KachelY + 1 20790 0.68300495 -0.75923136 39.133301 -43.500753
    Unten rechts KachelX + 1 19947 KachelY + 1 20790 0.68319669 -0.75923136 39.144287 -43.500753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75909226--0.75923136) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dl = 886.206100000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75909226--0.75923136) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dr = 886.206100000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68300495-0.68319669) × cos(-0.75909226) × R
    0.000191739999999996 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 886.205502705158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68300495-0.68319669) × cos(-0.75923136) × R
    0.000191739999999996 × 0.725365329149086 × 6371000     		du = 886.088543652553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75909226)-sin(-0.75923136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725365329149086)×R²
    abs(0.68319669-0.68300495)×9.57444290385912e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57444290385912e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57444290385912e-05×40589641000000     		ar = 785308.898704479m²