Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19945 / 20825
↖ ↑ ↗
← S 43.779027°
E 39.122315°		 ← 882.04 m → S 43.779027°
E 39.133301°		 →
↑
881.94 m
↓
↑
881.94 m
↓
S 43.786958°
E 39.122315°		 ← 881.92 m →
777 853 m²		 S 43.786958°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608688354492188 y=0.635543823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608688354492188 × 215)
    floor (0.608688354492188 × 32768)
    floor (19945.5)     		tx = 19945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635543823242188 × 215)
    floor (0.635543823242188 × 32768)
    floor (20825.5)     		ty = 20825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19945 / 20825 ti = "15/19945/20825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19945/20825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19945 ÷ 215
    19945 ÷ 32768     		x = 0.608673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20825 ÷ 215
    20825 ÷ 32768     		y = 0.635528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608673095703125 × 2 - 1) × π
    0.21734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68281320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68281320} λ = 0.68281320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851551084850678))-π/2
    2×atan(0.426752489008245)-π/2
    2×0.403354084473578-π/2
    0.806708168947155-1.57079632675     		φ = -0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68281320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.122315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19945 KachelY 20825 0.68281320 -0.76408816 39.122315 -43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 19946 KachelY 20825 0.68300495 -0.76408816 39.133301 -43.779027
    Unten links KachelX 19945 KachelY + 1 20826 0.68281320 -0.76422659 39.122315 -43.786958
    Unten rechts KachelX + 1 19946 KachelY + 1 20826 0.68300495 -0.76422659 39.133301 -43.786958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76408816--0.76422659) × R
    0.000138430000000023 × 6371000     		dl = 881.937530000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76408816--0.76422659) × R
    0.000138430000000023 × 6371000     		dr = 881.937530000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68281320-0.68300495) × cos(-0.76408816) × R
    0.000191750000000046 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 882.040079970166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68281320-0.68300495) × cos(-0.76422659) × R
    0.000191750000000046 × 0.721917756671151 × 6371000     		du = 881.923066821639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76408816)-sin(-0.76422659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.721917756671151)×R²
    abs(0.68300495-0.68281320)×9.5783717269593e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5783717269593e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5783717269593e-05×40589641000000     		ar = 777852.651588539m²