Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19945 / 20822
↖ ↑ ↗
← S 43.755225°
E 39.122315°		 ← 882.39 m → S 43.755225°
E 39.133301°		 →
↑
882.32 m
↓
↑
882.32 m
↓
S 43.763160°
E 39.122315°		 ← 882.27 m →
778 500 m²		 S 43.763160°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608688354492188 y=0.635452270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608688354492188 × 215)
    floor (0.608688354492188 × 32768)
    floor (19945.5)     		tx = 19945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635452270507812 × 215)
    floor (0.635452270507812 × 32768)
    floor (20822.5)     		ty = 20822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19945 / 20822 ti = "15/19945/20822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19945/20822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19945 ÷ 215
    19945 ÷ 32768     		x = 0.608673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20822 ÷ 215
    20822 ÷ 32768     		y = 0.63543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608673095703125 × 2 - 1) × π
    0.21734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68281320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.2708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.850975842055237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68281320} λ = 0.68281320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850975842055237))-π/2
    2×atan(0.426998045923635)-π/2
    2×0.403561792342648-π/2
    0.807123584685295-1.57079632675     		φ = -0.76367274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68281320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.122315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76367274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.755225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19945 KachelY 20822 0.68281320 -0.76367274 39.122315 -43.755225
    Oben rechts KachelX + 1 19946 KachelY 20822 0.68300495 -0.76367274 39.133301 -43.755225
    Unten links KachelX 19945 KachelY + 1 20823 0.68281320 -0.76381123 39.122315 -43.763160
    Unten rechts KachelX + 1 19946 KachelY + 1 20823 0.68300495 -0.76381123 39.133301 -43.763160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76367274--0.76381123) × R
    0.000138489999999991 × 6371000     		dl = 882.319789999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76367274--0.76381123) × R
    0.000138489999999991 × 6371000     		dr = 882.319789999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68281320-0.68300495) × cos(-0.76367274) × R
    0.000191750000000046 × 0.722300898423067 × 6371000     		do = 882.391127824094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68281320-0.68300495) × cos(-0.76381123) × R
    0.000191750000000046 × 0.722205114731109 × 6371000     		du = 882.274114706487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76367274)-sin(-0.76381123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722300898423067-0.722205114731109)×R²
    abs(0.68300495-0.68281320)×9.57836919585064e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57836919585064e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57836919585064e-05×40589641000000     		ar = 778499.534348982m²