Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19944 / 20792
↖ ↑ ↗
← S 43.516688°
E 39.111328°		 ← 885.90 m → S 43.516688°
E 39.122315°		 →
↑
885.89 m
↓
↑
885.89 m
↓
S 43.524655°
E 39.111328°		 ← 885.78 m →
784 757 m²		 S 43.524655°
E 39.122315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608657836914062 y=0.634536743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608657836914062 × 215)
    floor (0.608657836914062 × 32768)
    floor (19944.5)     		tx = 19944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634536743164062 × 215)
    floor (0.634536743164062 × 32768)
    floor (20792.5)     		ty = 20792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19944 / 20792 ti = "15/19944/20792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19944/20792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19944 ÷ 215
    19944 ÷ 32768     		x = 0.608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20792 ÷ 215
    20792 ÷ 32768     		y = 0.634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608642578125 × 2 - 1) × π
    0.21728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68262145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.26904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.84522341410083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68262145} λ = 0.68262145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84522341410083))-π/2
    2×atan(0.429461399759434)-π/2
    2×0.405643416155645-π/2
    0.81128683231129-1.57079632675     		φ = -0.75950949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68262145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75950949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.516688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19944 KachelY 20792 0.68262145 -0.75950949 39.111328 -43.516688
    Oben rechts KachelX + 1 19945 KachelY 20792 0.68281320 -0.75950949 39.122315 -43.516688
    Unten links KachelX 19944 KachelY + 1 20793 0.68262145 -0.75964854 39.111328 -43.524655
    Unten rechts KachelX + 1 19945 KachelY + 1 20793 0.68281320 -0.75964854 39.122315 -43.524655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75950949--0.75964854) × R
    0.000139050000000029 × 6371000     		dl = 885.887550000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75950949--0.75964854) × R
    0.000139050000000029 × 6371000     		dr = 885.887550000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68262145-0.68281320) × cos(-0.75950949) × R
    0.000191750000000046 × 0.725173846387604 × 6371000     		do = 885.90083382078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68262145-0.68281320) × cos(-0.75964854) × R
    0.000191750000000046 × 0.72507809429965 × 6371000     		du = 885.783859311866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75950949)-sin(-0.75964854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725173846387604-0.72507809429965)×R²
    abs(0.68281320-0.68262145)×9.57520879535378e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57520879535378e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57520879535378e-05×40589641000000     		ar = 784756.707350531m²