Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19943 / 20775
↖ ↑ ↗
← S 43.381098°
E 39.100342°		 ← 887.89 m → S 43.381098°
E 39.111328°		 →
↑
887.80 m
↓
↑
887.80 m
↓
S 43.389082°
E 39.100342°		 ← 887.77 m →
788 215 m²		 S 43.389082°
E 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608627319335938 y=0.634017944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608627319335938 × 215)
    floor (0.608627319335938 × 32768)
    floor (19943.5)     		tx = 19943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634017944335938 × 215)
    floor (0.634017944335938 × 32768)
    floor (20775.5)     		ty = 20775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19943 / 20775 ti = "15/19943/20775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19943/20775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19943 ÷ 215
    19943 ÷ 32768     		x = 0.608612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20775 ÷ 215
    20775 ÷ 32768     		y = 0.634002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608612060546875 × 2 - 1) × π
    0.21722412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68242970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.26800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.841963704926666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68242970} λ = 0.68242970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841963704926666))-π/2
    2×atan(0.430863603170224)-π/2
    2×0.406826670392704-π/2
    0.813653340785408-1.57079632675     		φ = -0.75714299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68242970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.100342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75714299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.381098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19943 KachelY 20775 0.68242970 -0.75714299 39.100342 -43.381098
    Oben rechts KachelX + 1 19944 KachelY 20775 0.68262145 -0.75714299 39.111328 -43.381098
    Unten links KachelX 19943 KachelY + 1 20776 0.68242970 -0.75728234 39.100342 -43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 19944 KachelY + 1 20776 0.68262145 -0.75728234 39.111328 -43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75714299--0.75728234) × R
    0.000139350000000094 × 6371000     		dl = 887.798850000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75714299--0.75728234) × R
    0.000139350000000094 × 6371000     		dr = 887.798850000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68242970-0.68262145) × cos(-0.75714299) × R
    0.000191749999999935 × 0.72680130528397 × 6371000     		do = 887.889001485829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68242970-0.68262145) × cos(-0.75728234) × R
    0.000191749999999935 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 887.772067039956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75714299)-sin(-0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72680130528397-0.72670558599051)×R²
    abs(0.68262145-0.68242970)×9.57192934605278e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57192934605278e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57192934605278e-05×40589641000000     		ar = 788214.928589457m²