Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19942 / 20830
↖ ↑ ↗
← S 43.818675°
E 39.089356°		 ← 881.41 m → S 43.818675°
E 39.100342°		 →
↑
881.36 m
↓
↑
881.36 m
↓
S 43.826601°
E 39.089356°		 ← 881.29 m →
776 791 m²		 S 43.826601°
E 39.100342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608596801757812 y=0.635696411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608596801757812 × 215)
    floor (0.608596801757812 × 32768)
    floor (19942.5)     		tx = 19942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635696411132812 × 215)
    floor (0.635696411132812 × 32768)
    floor (20830.5)     		ty = 20830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19942 / 20830 ti = "15/19942/20830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19942/20830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19942 ÷ 215
    19942 ÷ 32768     		x = 0.60858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20830 ÷ 215
    20830 ÷ 32768     		y = 0.63568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60858154296875 × 2 - 1) × π
    0.2171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68223796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68223796} λ = 0.68223796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852509822843079))-π/2
    2×atan(0.426343541251881)-π/2
    2×0.403008088361984-π/2
    0.806016176723969-1.57079632675     		φ = -0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68223796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.089356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19942 KachelY 20830 0.68223796 -0.76478015 39.089356 -43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 19943 KachelY 20830 0.68242970 -0.76478015 39.100342 -43.818675
    Unten links KachelX 19942 KachelY + 1 20831 0.68223796 -0.76491849 39.089356 -43.826601
    Unten rechts KachelX + 1 19943 KachelY + 1 20831 0.68242970 -0.76491849 39.100342 -43.826601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76478015--0.76491849) × R
    0.000138340000000015 × 6371000     		dl = 881.364140000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76478015--0.76491849) × R
    0.000138340000000015 × 6371000     		dr = 881.364140000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68223796-0.68242970) × cos(-0.76478015) × R
    0.000191739999999996 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 881.40901161287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68223796-0.68242970) × cos(-0.76491849) × R
    0.000191739999999996 × 0.721438803730908 × 6371000     		du = 881.291996244518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76478015)-sin(-0.76491849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721438803730908)×R²
    abs(0.68242970-0.68223796)×9.57905299506789e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57905299506789e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57905299506789e-05×40589641000000     		ar = 776790.7301721m²