Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19942 / 20758
↖ ↑ ↗
← S 43.245203°
E 39.089356°		 ← 889.83 m → S 43.245203°
E 39.100342°		 →
↑
889.84 m
↓
↑
889.84 m
↓
S 43.253205°
E 39.089356°		 ← 889.71 m →
791 752 m²		 S 43.253205°
E 39.100342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608596801757812 y=0.633499145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608596801757812 × 215)
    floor (0.608596801757812 × 32768)
    floor (19942.5)     		tx = 19942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633499145507812 × 215)
    floor (0.633499145507812 × 32768)
    floor (20758.5)     		ty = 20758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19942 / 20758 ti = "15/19942/20758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19942/20758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19942 ÷ 215
    19942 ÷ 32768     		x = 0.60858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20758 ÷ 215
    20758 ÷ 32768     		y = 0.63348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60858154296875 × 2 - 1) × π
    0.2171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68223796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.838703995752502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68223796} λ = 0.68223796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838703995752502))-π/2
    2×atan(0.432270384814136)-π/2
    2×0.408012576810229-π/2
    0.816025153620458-1.57079632675     		φ = -0.75477117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68223796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.089356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75477117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.245203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19942 KachelY 20758 0.68223796 -0.75477117 39.089356 -43.245203
    Oben rechts KachelX + 1 19943 KachelY 20758 0.68242970 -0.75477117 39.100342 -43.245203
    Unten links KachelX 19942 KachelY + 1 20759 0.68223796 -0.75491084 39.089356 -43.253205
    Unten rechts KachelX + 1 19943 KachelY + 1 20759 0.68242970 -0.75491084 39.100342 -43.253205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75477117--0.75491084) × R
    0.000139669999999925 × 6371000     		dl = 889.837569999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75477117--0.75491084) × R
    0.000139669999999925 × 6371000     		dr = 889.837569999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68223796-0.68242970) × cos(-0.75477117) × R
    0.000191739999999996 × 0.728428338720065 × 6371000     		do = 889.830241223247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68223796-0.68242970) × cos(-0.75491084) × R
    0.000191739999999996 × 0.728332640625605 × 6371000     		du = 889.713338771829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75477117)-sin(-0.75491084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728428338720065-0.728332640625605)×R²
    abs(0.68242970-0.68223796)×9.56980944601948e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56980944601948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56980944601948e-05×40589641000000     		ar = 791752.368752849m²