Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19941 / 4719
↖ ↑ ↗
← N 77.807091°
E 39.078369°		 ← 258.01 m → N 77.807091°
E 39.089356°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
N 77.804771°
E 39.078369°		 ← 258.06 m →
66 581 m²		 N 77.804771°
E 39.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608566284179688 y=0.144027709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608566284179688 × 215)
    floor (0.608566284179688 × 32768)
    floor (19941.5)     		tx = 19941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144027709960938 × 215)
    floor (0.144027709960938 × 32768)
    floor (4719.5)     		ty = 4719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19941 / 4719 ti = "15/19941/4719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19941/4719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19941 ÷ 215
    19941 ÷ 32768     		x = 0.608551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4719 ÷ 215
    4719 ÷ 32768     		y = 0.144012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608551025390625 × 2 - 1) × π
    0.21710205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68204621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144012451171875 × 2 - 1) × π
    0.71197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23673573627182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68204621} λ = 0.68204621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23673573627182))-π/2
    2×atan(9.3627189673597)-π/2
    2×1.46439312580489-π/2
    2.92878625160978-1.57079632675     		φ = 1.35798992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68204621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.078369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35798992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.807091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19941 KachelY 4719 0.68204621 1.35798992 39.078369 77.807091
    Oben rechts KachelX + 1 19942 KachelY 4719 0.68223796 1.35798992 39.089356 77.807091
    Unten links KachelX 19941 KachelY + 1 4720 0.68204621 1.35794942 39.078369 77.804771
    Unten rechts KachelX + 1 19942 KachelY + 1 4720 0.68223796 1.35794942 39.089356 77.804771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35798992-1.35794942) × R
    4.05000000001099e-05 × 6371000     		dl = 258.0255000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35798992-1.35794942) × R
    4.05000000001099e-05 × 6371000     		dr = 258.0255000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68204621-0.68223796) × cos(1.35798992) × R
    0.000191750000000046 × 0.211203827941779 × 6371000     		do = 258.014885963986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68204621-0.68223796) × cos(1.35794942) × R
    0.000191750000000046 × 0.211243414171206 × 6371000     		du = 258.063246055613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35798992)-sin(1.35794942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211203827941779-0.211243414171206)×R²
    abs(0.68223796-0.68204621)×3.95862294269023e-05×R²
    0.000191750000000046×3.95862294269023e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.95862294269023e-05×40589641000000     		ar = 66580.6590365353m²