Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19940 / 28500
↖ ↑ ↗
← N 70.768825°
W125.233155°		 ← 100.60 m → N 70.768825°
W125.230408°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
N 70.767920°
W125.233155°		 ← 100.61 m →
10 121 m²		 N 70.767920°
W125.230408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152133941650391 y=0.217441558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152133941650391 × 217)
    floor (0.152133941650391 × 131072)
    floor (19940.5)     		tx = 19940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217441558837891 × 217)
    floor (0.217441558837891 × 131072)
    floor (28500.5)     		ty = 28500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19940 / 28500 ti = "17/19940/28500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19940/28500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19940 ÷ 217
    19940 ÷ 131072     		x = 0.152130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28500 ÷ 217
    28500 ÷ 131072     		y = 0.217437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.69573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18573088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217437744140625 × 2 - 1) × π
    0.56512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7753910143284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18573088} λ = -2.18573088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7753910143284))-π/2
    2×atan(5.9025886818972)-π/2
    2×1.40297266208325-π/2
    2.8059453241665-1.57079632675     		φ = 1.23514900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18573088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.233155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23514900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.768825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19940 KachelY 28500 -2.18573088 1.23514900 -125.233155 70.768825
    Oben rechts KachelX + 1 19941 KachelY 28500 -2.18568294 1.23514900 -125.230408 70.768825
    Unten links KachelX 19940 KachelY + 1 28501 -2.18573088 1.23513321 -125.233155 70.767920
    Unten rechts KachelX + 1 19941 KachelY + 1 28501 -2.18568294 1.23513321 -125.230408 70.767920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23514900-1.23513321) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23514900-1.23513321) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18573088--2.18568294) × cos(1.23514900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329380443047614 × 6371000     		do = 100.601265559279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18573088--2.18568294) × cos(1.23513321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329395351881772 × 6371000     		du = 100.605819100985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23514900)-sin(1.23513321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329380443047614-0.329395351881772)×R²
    abs(-2.18568294--2.18573088)×1.49088341580561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49088341580561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49088341580561e-05×40589641000000     		ar = 10120.5242058882m²