Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19939 / 20754
↖ ↑ ↗
← S 43.213183°
E 39.056396°		 ← 890.34 m → S 43.213183°
E 39.067383°		 →
↑
890.28 m
↓
↑
890.28 m
↓
S 43.221190°
E 39.056396°		 ← 890.23 m →
792 607 m²		 S 43.221190°
E 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608505249023438 y=0.633377075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608505249023438 × 215)
    floor (0.608505249023438 × 32768)
    floor (19939.5)     		tx = 19939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633377075195312 × 215)
    floor (0.633377075195312 × 32768)
    floor (20754.5)     		ty = 20754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19939 / 20754 ti = "15/19939/20754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19939/20754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19939 ÷ 215
    19939 ÷ 32768     		x = 0.608489990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20754 ÷ 215
    20754 ÷ 32768     		y = 0.63336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608489990234375 × 2 - 1) × π
    0.21697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68166271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.837937005358582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68166271} λ = 0.68166271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837937005358582))-π/2
    2×atan(0.43260205922615)-π/2
    2×0.408291998973314-π/2
    0.816583997946628-1.57079632675     		φ = -0.75421233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68166271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.056396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75421233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.213183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19939 KachelY 20754 0.68166271 -0.75421233 39.056396 -43.213183
    Oben rechts KachelX + 1 19940 KachelY 20754 0.68185446 -0.75421233 39.067383 -43.213183
    Unten links KachelX 19939 KachelY + 1 20755 0.68166271 -0.75435207 39.056396 -43.221190
    Unten rechts KachelX + 1 19940 KachelY + 1 20755 0.68185446 -0.75435207 39.067383 -43.221190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75421233--0.75435207) × R
    0.000139740000000055 × 6371000     		dl = 890.283540000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75421233--0.75435207) × R
    0.000139740000000055 × 6371000     		dr = 890.283540000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68166271-0.68185446) × cos(-0.75421233) × R
    0.000191750000000046 × 0.728811098533943 × 6371000     		do = 890.344243804896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68166271-0.68185446) × cos(-0.75435207) × R
    0.000191750000000046 × 0.728715409369674 × 6371000     		du = 890.227346166025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75421233)-sin(-0.75435207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728811098533943-0.728715409369674)×R²
    abs(0.68185446-0.68166271)×9.56891642684976e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56891642684976e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56891642684976e-05×40589641000000     		ar = 792606.790461479m²