Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19938 / 20826
↖ ↑ ↗
← S 43.786958°
E 39.045410°		 ← 881.92 m → S 43.786958°
E 39.056396°		 →
↑
881.87 m
↓
↑
881.87 m
↓
S 43.794889°
E 39.045410°		 ← 881.81 m →
777 693 m²		 S 43.794889°
E 39.056396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608474731445312 y=0.635574340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608474731445312 × 215)
    floor (0.608474731445312 × 32768)
    floor (19938.5)     		tx = 19938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635574340820312 × 215)
    floor (0.635574340820312 × 32768)
    floor (20826.5)     		ty = 20826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19938 / 20826 ti = "15/19938/20826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19938/20826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19938 ÷ 215
    19938 ÷ 32768     		x = 0.60845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20826 ÷ 215
    20826 ÷ 32768     		y = 0.63555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68147096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.2711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851742832449158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68147096} λ = 0.68147096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851742832449158))-π/2
    2×atan(0.426670668088065)-π/2
    2×0.403284866883952-π/2
    0.806569733767904-1.57079632675     		φ = -0.76422659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68147096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76422659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.786958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19938 KachelY 20826 0.68147096 -0.76422659 39.045410 -43.786958
    Oben rechts KachelX + 1 19939 KachelY 20826 0.68166271 -0.76422659 39.056396 -43.786958
    Unten links KachelX 19938 KachelY + 1 20827 0.68147096 -0.76436501 39.045410 -43.794889
    Unten rechts KachelX + 1 19939 KachelY + 1 20827 0.68166271 -0.76436501 39.056396 -43.794889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76422659--0.76436501) × R
    0.000138419999999972 × 6371000     		dl = 881.873819999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76422659--0.76436501) × R
    0.000138419999999972 × 6371000     		dr = 881.873819999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68147096-0.68166271) × cos(-0.76422659) × R
    0.000191750000000046 × 0.721917756671151 × 6371000     		do = 881.923066821639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68147096-0.68166271) × cos(-0.76436501) × R
    0.000191750000000046 × 0.721821966040657 × 6371000     		du = 881.806045227645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76422659)-sin(-0.76436501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721917756671151-0.721821966040657)×R²
    abs(0.68166271-0.68147096)×9.57906304939193e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57906304939193e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57906304939193e-05×40589641000000     		ar = 777693.265985353m²