Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19937 / 9695
↖ ↑ ↗
← N 77.505308°
W 70.482788°		 ← 132.16 m → N 77.505308°
W 70.477295°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 77.504119°
W 70.482788°		 ← 132.17 m →
17 472 m²		 N 77.504119°
W 70.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304222106933594 y=0.147941589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304222106933594 × 216)
    floor (0.304222106933594 × 65536)
    floor (19937.5)     		tx = 19937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147941589355469 × 216)
    floor (0.147941589355469 × 65536)
    floor (9695.5)     		ty = 9695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19937 / 9695 ti = "16/19937/9695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19937/9695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19937 ÷ 216
    19937 ÷ 65536     		x = 0.304214477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9695 ÷ 216
    9695 ÷ 65536     		y = 0.147933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304214477539062 × 2 - 1) × π
    -0.391571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23015672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147933959960938 × 2 - 1) × π
    0.704132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21209616986711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23015672} λ = -1.23015672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21209616986711))-π/2
    2×atan(9.13484452396239)-π/2
    2×1.46175956675684-π/2
    2.92351913351369-1.57079632675     		φ = 1.35272281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23015672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.482788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35272281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.505308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19937 KachelY 9695 -1.23015672 1.35272281 -70.482788 77.505308
    Oben rechts KachelX + 1 19938 KachelY 9695 -1.23006084 1.35272281 -70.477295 77.505308
    Unten links KachelX 19937 KachelY + 1 9696 -1.23015672 1.35270206 -70.482788 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 19938 KachelY + 1 9696 -1.23006084 1.35270206 -70.477295 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35272281-1.35270206) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35272281-1.35270206) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23015672--1.23006084) × cos(1.35272281) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.216349169235976 × 6371000     		do = 132.157210224786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23015672--1.23006084) × cos(1.35270206) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 132.169585166543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35272281)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216349169235976-0.216369427747516)×R²
    abs(-1.23006084--1.23015672)×2.0258511539667e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.0258511539667e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.0258511539667e-05×40589641000000     		ar = 17471.7698899734m²