Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19937 / 20779
↖ ↑ ↗
← S 43.413029°
E 39.034424°		 ← 887.37 m → S 43.413029°
E 39.045410°		 →
↑
887.35 m
↓
↑
887.35 m
↓
S 43.421009°
E 39.034424°		 ← 887.26 m →
787 363 m²		 S 43.421009°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608444213867188 y=0.634140014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608444213867188 × 215)
    floor (0.608444213867188 × 32768)
    floor (19937.5)     		tx = 19937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634140014648438 × 215)
    floor (0.634140014648438 × 32768)
    floor (20779.5)     		ty = 20779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19937 / 20779 ti = "15/19937/20779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19937/20779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19937 ÷ 215
    19937 ÷ 32768     		x = 0.608428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20779 ÷ 215
    20779 ÷ 32768     		y = 0.634124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608428955078125 × 2 - 1) × π
    0.21685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68127922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.26824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842730695320587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68127922} λ = 0.68127922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842730695320587))-π/2
    2×atan(0.430533261626092)-π/2
    2×0.406548019000369-π/2
    0.813096038000738-1.57079632675     		φ = -0.75770029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68127922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.034424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75770029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.413029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19937 KachelY 20779 0.68127922 -0.75770029 39.034424 -43.413029
    Oben rechts KachelX + 1 19938 KachelY 20779 0.68147096 -0.75770029 39.045410 -43.413029
    Unten links KachelX 19937 KachelY + 1 20780 0.68127922 -0.75783957 39.034424 -43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 19938 KachelY + 1 20780 0.68147096 -0.75783957 39.045410 -43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75770029--0.75783957) × R
    0.000139279999999964 × 6371000     		dl = 887.35287999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75770029--0.75783957) × R
    0.000139279999999964 × 6371000     		dr = 887.35287999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68127922-0.68147096) × cos(-0.75770029) × R
    0.000191739999999996 × 0.726418412173983 × 6371000     		do = 887.374964117356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68127922-0.68147096) × cos(-0.75783957) × R
    0.000191739999999996 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 887.258025618644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75770029)-sin(-0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726418412173983-0.726322684570668)×R²
    abs(0.68147096-0.68127922)×9.57276033143328e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57276033143328e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57276033143328e-05×40589641000000     		ar = 787362.848465812m²